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최근 별 생각없이 수학에 대한 글을 쓰고 댓글을 달다가 제가 쓴 글과 그것의 댓글들을 쭉 훑어보니 수학 전반에 대해 부모님들이 상당히 많은 관심을 갖고 계시고 나름대로 여러 가지 좋은 지도 방법들을 노하우로 갖고 계신것 같아 다행스럽게 생각하게 되었습니다.
그런데 너무나 중요한 "개념" 에 대해서 막연히 중요성만 인식하고 계시거나 그것의 발달 과정에 대해서 아주 구체적으로 이해하지는 못하시는 것 같아서 "아빠표 수학" 이름이라는 제목의 첫번째 주제로 개념을 다루어야 하겠다는 생각을 하게 되었습니다.
아빠표 수학은 제가 민교와 민채에게 수학을 가르치며 아이들이 어떻게 수 개념을 형성하고 어느 시기에 어느 개념을 발달시키는 가에 대한 저 혼자만의 "관찰기" 였으나 이렇게 좋은 사이트를 알게되어 이곳에 옮겨 볼까 합니다. - 아이가 이제 8세 이므로 만약 제가 계속 글을 남기게 된다면 아직도 오랜 세월이 남아 있네요..
아이들에게 함수 단원에서 질문을 합니다.
"그래프가 뭔지 아는 사람" - 사탕 10개 건다. - 제가 수업시간에 아이들을 꼬드기는 방법으로 사탕을 자주 이용합니다. 춥파춥* 라는 사탕이지요.
아 그런데 이런 대답이 돌아옵니다.
"그림이요" - 너무 문학적인데
"그래프요 " - 그래프를 그래프라 부르는 구나 그건 설명이 되지는 못할 것 같은데
"함수를 그림으로 표현한 것이요 " - 오... 깊은 생각을 했구나 하지만 부족한데....
...
...
이게 우리나라 교육의 현실입니다.
아이들은 그래프를 모두 다 알고 있다고 생각하고 초등학교 때부터 무수히 많은 그래프를 그려 왔지만
사실은 그것에 대해 잘 모르고 있었던 것이지요...
그래프의 개념을 몰라도 시험 문제를 푸는데 거의 "전혀" 지장을 받지 않았으니까요...
이 글을 읽는 부모님 중 그래프의 "정의"에 대해 알고 계신 분이 있으실까요?
혹시 고1 이상의 자녀를 두신 부모님께서도 자녀들에게 한번 그래프의 정의가 무엇이냐? 라고 질문을 던져 보시기 바랍니다.
만약 아이가 정확하게 대답한다면 그아이는 학문분야에 진출한다면 성공할 것이라 확신합니다.
고등학교 수준에서 그래프에 대해 설명드리지요( 수학얘기여서 죄송합니다만, 내용이 어렵지는 않습니다.)
함수의 개념은 다양하게 발달되어 왔습니다.
처음에는 어떤 수가 변할 때(독립변수 -x) 그것에 연관된 수가 변하는 것(종속변수-y) 이런 식으로 정의되다가 엄밀성이 필요함에 따라
두 집합 사이의 대응관계 중 다음 두 가지 조건을 만족할 때 함수라 부르기로 했지요.
1. 정의역이라 부르는 집합 X의 모든 원소들은 공역이라 부르는 집합 Y의 원소에 반드시 대응하여야 한다.
2. X의 모든 원소들은 단 한번만 Y의 원소에 대응하여야 한다.
위의 두 가지 성질을 만족할 때 두 집합에 관계를 주는 작용을 함수라 부르고 f : X ->Y 등으로 표기합니다.
그리고 X를 정의역 Y를 공역 f(X) - 집합 X가 f에 의하여 대응되어 지는 Y의 부분집합 -
를 치역이라 부릅니다.
이 때 그래프는 순서쌍의 집합 {(x,y) | y=f(x) } 다시 말해 x와 그것의 함숫값 f(x)의 순서쌍들의 집합을 이르는 것입니다.
순서쌍은 좌표평면 상에 점으로 나타낼 수 있는데 좌표평면에 나타난 "그림"을 아이들이 그래프와 같은 것으로 생각하고 있는 것이지요.
놀랍게도 이러한 개념을 정확하게 알고 있는 고1 학생은 1%도 되지 않습니다.
우리 수학 교육이 얼마나 "개념"을 무시하며 이루어지고 있는 지를 알수 있는 것이지요.
그러면 아이들에게 "그래프"의 개념을 어떻게 가르쳐야 할까요?
다양하게 가르칠 수 있습니다만 그래프=그림 이 등식을 아이들이 아무 생각없이 받아들에게 해서는 안됩니다.
반드시 함수의 개념이 먼저 있어야 하고 정의역과 공역 치역의 개념을 심어주어야 하고 순서쌍의 개념을 알려주어야 하고, 그 후에 곱집합(설명은 생략하지요), 그래프의 개념이 들어가야 합니다.
아이들에게 함수 개념은 이렇게 가르칩니다.
사랑의 짝대기 게임을 합니다. 이 때 어떤 규칙을 정해야 "공정" 할까요?
1. 내가 마음에 드는 사람이 두 사람 있다고 두 사람 모두에게 짝대기를 보내지는 말아야 합니다.
즉 반드시 한 사람에게만 짝대기를 보내야 합니다.
2. 마음에 드는 사람이 없다고 짝대기를 보내지 않아서는 안됩니다. 마음에 드는 사람이 없어도 누구에겐가는 짝대기를 보내야만 합니다.
위의 두 가지 규칙을 어긴다면 사랑의 짝대기 게임은 공정하게 이루어지지 않습니다.
이런 얘기들을 재미 있게 풀면 되겠지요?
모든 일들이 그러합니다.
단순히 개념의 중요성을 강조하기 위해 "그래프"의 예를 들었습니다만 평소에 아이들에게 개념의 중요성을 가르치는 것은 너무나도 중요합니다.
민교에게 다음과 같이 묻습니다.
민교야 위브 아파트는 왜 위브일까?
어떤 것의 개념은 그것의 명명법과 관련이 있고 왜 그런 이름이 되었나를 물어보는 게임이
네이밍 게임 입니다. (뭐 제가 만들었습니다만...)
무엇이든 괜찮습니다. 왜 그런 이름이 되었을까를 아이와 함께 생각해보면 되니까요
위브를 이렇게 예상해 보았습니다.
we live we love we have
저런 것들을 줄인 것이 아닐까
오래전 일이라 자세히 기억은 나지 않지만 그랬던 것으로 기억합니다.
그 때 아이와 느꼈던 짜릿함과 재미는 말할 수 없이 컸습니다.
아이가 차를 좋아한다면 자동차 이름의 네이밍을 조사하면 되고
공룡을 좋아한다면 공룡의 네이밍을 조사하면 됩니다. ( 사실 공룡의 네이밍은 너무 학술적이라 재미는 없을 것으로 보입니다만)
아이들에게 개념을 가르치는 것이 어렵다?
무작정 가르치라는 것이 아닙니다.
개념이 형성되는 과정을 게임과 놀이로 하다보면 스스로 개념에 대해 "궁금해" 하고 개념을 받아들이는 습관을 가지게 되는 것입니다.
물론 이 방법이 틀릴 수도 있고 효과가 없을 수도 있습니다.
그렇지만 적어도 민교에게서 약간의 효과를 보았고, 더 잘 될 수 있으리라는 희망도 보았습니다.
개념이라는 것은 어떤 것의 "이름"이고 이름이 어떻게 만들어지는 가를 아이가 이해할 수만 았다면
그 아이는 자신이 모르는 "이름" 에 대해 답답해 할 것이고 부모가 아이를 그 정도 수준까지 이끌 수만 있다면 그 다음 부터는 아이가 스스로 해낼 것입니다.
오늘은 이만..
힘들고 외롭다.