수학의 단원 구성 > 중.고등교육 게시판

오늘 쑥쑥 게시판에 와서 많은 글들을 읽고 또 한 두개 댓글을 남기기도 했는데 수학에 대한 여러 글을 읽으면서 혹시 도움이 될까 싶어서 수학의 단원이 어떻게 만들어지고, 그것의 계통에 대해 참고 삼아 설명드리겠습니다.

먼저 수학은 초등학교, 중학교, 고등학교에 걸쳐 다음과 같은 여섯 주제를 일관되게 다루고 있습니다.

1. 집합과 수

2. 식과 연산

3. 방정식과 부등식

4. 함수

5. 기하

6. 확률과 통계

왜 저렇게 나누었을까요?

처음에 수학은 기하학과 대수학으로 나뉘어 발달하였습니다.

도형의 성질과 수의 성질(방정식)을 다루는 것이 수학의 주요한 주제였던 것이지요.

거기에 데카르트가 좌표를 발명하면서 기하학적 도형을 대수적으로 다루거나 혹은 그 반대의 경우를 생각하는 해석학이 창시되게 되었고 그 후 수 많은 수학의 여러 주제들이 생겨났지만 아직도 정통 수학의 큰 줄기를

대수 기하 해석 이 세분야로 나누는 것에는 큰 무리가 없어 보입니다. 그리고 응용수학 부분에서는 확률론, 통계학, 이산수학 등.. 다양한 분야가 있는데 확률통계 분야는 불확실한 세상에서 예측도구로서의 막강한 기능 때문에 각광 받게 되었구요. 이산수학도 비슷한 이유로 중요시 되고 있는 추세입니다.

집합과 수

수학의 발달 단계를 크게 세 가지 중요한 사건에 따라 분류하는데

첫째가 유클리드가 공리와 공준 정리로 이어지는 연역적 체계를 처음으로 만들었다는 데서 큰 의미가 있습니다.

둘째가 뉴턴의 미분적분학인데 (라이프니쯔와 거의 같은시기에 발견했습니다만 편의상 뉴턴으로 적겠습니다.) 기존의 수학이 움직이지 않는 대상에 대한 연구였다면 미분적분학은 움직이는 대상에 대한 천재적인 발상으로부터 시작되었습니다. 일반적으로 우리가 속력을 알고 싶다면 처음위치와 나중위치 그리고 그 때의 시간 등 서로 다른 두 상태의 정보를 알고 있어야 하지만 위치가 적당한 함수로 주어진다면 한 점에서의 속도를 구할 수 있다는 것이지요. 그것을 "미분" 또는 "순간속도" 라는 이름으로 부릅니다.

셋째가 칸토어의 집합론적 수학입니다.

뉴턴의 미분적분학이 수학에 혁명적인 전환을 가져왔지만 무한에 대해 다루다보니 수학적으로 엄밀함이 많이 부족하게 되었습니다. 그것을 용납하지 못하고 수학에 엄밀성을 부여한 것이 칸토어의 수학입니다.

그것때문에 수학은 엄청나게 많은 부분을 포기하게 되었지만 어쨌든 많은 부분에서 엄밀함을 얻게 됩니다.

수학은 수를 다루는 학문이고 그 수를 구성하는 방법이 집합론적으로 정의되기 때문에 우리는 아이들에게 우선 집합과 수를 먼저 가르치게 되는 것입니다.

그렇게 수가 만들어지면 이제 그 수들에서 정의되는 연산 (사칙연산)에 대해 배우게 됩니다.

그렇게 연산에 대해 익숙해지면 그 연산을 만족하는 미지의 수를 찾아내는 방법을 배우게 됩니다.

그것이 바로 대수학의 꽃인 방정식인 것이지요... 또한 방정식과 관련된 부등식도 함께 배우게 됩니다.

이렇게 방정식과 부등식을 배우게 되면 두 집합의 원소들에 대해 대응관계를 방정식으로 주는 함수의 개념에 대해 배우게 되고 방정식과 부등식의 해는 함수의 다양한 해석의 일부라는 것을 알게 됩니다.

기하부분은 다소 별개라는 느낌이 드는데 도형의 성질을 여러 가지 방법으로 배우게 되고 초등학교 때는 대학때 배우는 토폴로지의 일부 개념에 대해 배우기도 합니다. (한붓그리기나 연결상태 같은)

또한 기하부분은 함수나 방정식 등으로 해석될 수 있는데 그것은 고등학교 과정에서 배우게 됩니다.

마지막으로 확률과 통계는 그것의 유용성 때문에 배우게 됩니다. 경우의 수를 센다거나 확률을 구하는 과정 등이 올바른 판단을 할 때 중용한 판단 기준이 되기 때문이지요.

아 밥을 먹으라고 하네요....

다음에 좀 더 자세한 글을 남길 기회가 된다면 더 남기겠습니다.

오늘은 이만 하지요...

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