수학선행은 어떤식으로 진행해야 하나요? > 중.고등교육 게시판

진맘
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2010-09-28 09:19

아이고...감사합니다...

리치 흐름
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2010-09-27 15:37

새 교과 과정은 제가 모르겠고, 예전 교과 과정으로 말씀드리는 것입니다. 방정식이 초6으로 내려왔다는 이야기는 들었는데, 이 부분까지만 설명해 보겠습니다. 또 선행을 한다는 전제하에서 제 생각을 말씀드리는 것입니다. 선행의 옳고 그름에 대해서는 철저히 배제합니다.

교과 과정으로 보았을 때에 초6과 중1은 겹치는 부분이 상당히 많습니다. 따라서 초5를 제대로 했다는 가정이라면 초6은 가볍게 보고 넘어가도 될 듯 싶습니다. 어차피 중1에서 다시 다하기 때문인데, 초5,6에 나오지 않았던 것중에 중1에서 나오는 새로운 개념으로는 집합, 정수와 유리수, 함수 정도가 1학기에 새롭게 나오게 되구요, 점,선,면의 위치관계(꼬인 위치나 이런 것을 말합니다.), 작도, 대수를 응용한 여러가지 기하의 공식들 정도라고 볼 수 있습니다.

따라서 초6의 선행은 아이의 수준에서 무난하게 풀었던 수준에서 마무리해도 괜찮다고 생각하구요, 중1 선행부터는 가급적 공부량도 늘리고 깊게 공부하는 것이 어떨가 싶습니다. 이런 진행이라면 이번 겨울 방학에 초6 선행을 기본 문제집으로 마치고, 초6 1학기부터 중1 선행을 시작해보는 것도 나쁘지 않을 것 같습니다.

참고로 말씀드리는데요, 초등 수학과 중등 수학의 가장 큰 차이점은 직관과 엄밀성의 차이라고 보시면 이해가 어느정도 되실겁니다. 초등 때에는 이런 방법으로도 생각해보고, 저런 방법으로도 생각해보다가 문제를 해결해가고 그러한 과정이 가장 중요합니다. 한가지 문제를 여러가지 방법으로 풀어보는 것도 중요하구요. 그렇지만 중등부터는 여기에 한가지가 더 덧붙여져야 합니다. 그것은 다름아닌 엄밀성입니다.

엄밀성이라는 것은 내가 사고했던 것이 보편적으로 맞는 방법인지를 검토해보는 것입니다. 사고력으로 접근한 방법에 증명이라는 것을 통하여 확실한 개념 정립을 해야한다는 것이지요. 초등 수학에서 추구하는 사고력의 개념과 중등부터의 사고력의 개념이 다르다는 이야기입니다.

중등 수학을 깊게 하면 고등가서 좋다는 말을 많이 들었을 것입니다. 이 말은 사실입니다. 예를 하나 들어보겠습니다. 초6에서는 구의 부피에 대하여 4/3 * 반지름 * 반지름 * 반지름 * 3.14 라고 배웁니다. 초6 수준에서는 왜 그렇게 되는지 정확히 이해하기에는 수학적 배경지식이 부족하기 때문에 엄밀성을 요구할 수 없습니다. 중등부터는 4/3 *파이(원주율) * r^3으로 표현합니다. 역시 중1의 지식으로는 증명하기가 쉽지 않습니다. 중3까지 모두 다 하면 이때부터는 이야기가 달라집니다. 피타고라스의 정리를 알면 직관적인 수준에서 증명이 가능합니다. 나중에 미분,적분을 하고나서는 거의 완벽한 증명을 이해할 수 있고, 대학 수준에서 입실론-델타법을 배우고 나면 완벽하게 엄밀성을 주어서 구의 부피 공식을 증명할 수 있습니다.

그런데 학생들의 대부분은 중3이 끝나고 고등학교에 가면 구의 부피를 증명하지 않습니다. 1학년 것이라고 거들떠 보지도 않지요. 기하는 고등부터는 거의 배우지 않다가 이과로 진행하면 벡터라는 개념을 배우게 되는데, 이 때에 도형을 다시 만나게 됩니다. 이 때까지 중1부터의 공백기가 상당한 것이지요. 그래서 기하는 중3까지 다 하고 나면 반드시 다시 1학년으로 돌아와서 엄밀성 측면을 더욱 강조하여 다시 봐야 합니다. 고등학생이 되더라도 말입니다. 그래야 큰 무리 없이 이과 수학도 따라갈 수 있다고 생각합니다. 직관적 수준에서의 구의 부피 증명이라면 중등 과정에 국한해서 이해하는 것이고, 따라서 이것은 선행학습이 아닌 후행학습이라고 보는게 맞습니다. 선행이 판을 치는 분위기에서 왠 후행학습인가 하시겠으나, 후행학습의 파괴력은 실로 막강하다고 생각합니다.

이 과정을 찬찬히 보면, 구의 부피라는 개념 하나를 가지고도 학년이 올라가면서 점차로 엄밀성이 부여되게 됩니다. 후행 학습까지 감수해가면서 중등 수학을 깊게 하면 완벽한 구의 부피 증명까지의 과정을 순차적으로 따라갈 수 있는 것입니다. 어려운 문제 많이 풀라는 이야기가 아닙니다. 개념을 깊게 다지라는 뜻입니다. 그래서 중등 수학을 깊게 하면 고등수학에 유리하다는 말이 설득력을 갖는 것입니다.

이렇게 순차적으로 따라갈 수 있는 기반을 만들면서 가는 것은 우리나라 수학 교육과정과도 맞물립니다. 나선형 교육과정이라고 불리는데, 용어가 어려워서 그렇지 순차적으로 1학년때 배웠던 것 2학년때 좀 더 깊이 배우고, 새로운 개념 조금 더 나오고 ... 이런식의 교육과정을 말합니다. 전인 교육의 측면에서는 상당히 우수한 학습법이라고 생각합니다. 대신 수월성 교육 측면에서는 부작용도 많을 수 있겠지요. 각설하고, 중등 수학, 특히 2학기 기하부분의 특성이 이러함을 아시면 도움이 될 것 같습니다. 결론적으로 말해서 이러한 엄밀성의 시작이 중등부터이고, 중등부터의 사고력은 초등까지의 사고력 + 엄밀성이라고 하면 완벽하지는 않으나 어느정도의 설득력은 있을 것이라고 봅니다.

이런 예를 들어드리는 이유는 초6과 중1은 수학에 대한 접근부터가 달라지기 때문에, 선행을 하고자 마음을 먹었다면 초6은 가볍게, 대신 중1을 깊이있게 하는 것이 어떨가하는 제 의견에 대한 객관적 설득력을 부여하고자 하기 때문입니다.

1학기는 기본과 심화를 함께 진행하는 것이 좋습니다. 집합, 자연수의 성질, 기수법까지 한 묶음, 정수와 유리수 한 묶음, 문자와 식, 일차방정식과 그 활용 한 묶음, 함수 한 묶음 이렇게 묶음으로 진행하는 것이 1년 선행이라면 괜찮을 듯 싶습니다. 첫번째 묶음까지 기본 문제집으로 하고 바로 첫번째 묶음까지만 심화 문제집으로 하는 형태를 말합니다.(에이급 수학 수준은 최소 중2까지 보고 접근하는 것이 편할 겁니다. 그래서 에이급 수학은 중1때 중2 선행을 마치고 최종 심화를 할때에 학년 진도와 맞추어서 진행하는 것이 어떨가 싶습니다. 제 생각은 에이급까지 해야한다가 아니고, 이 정도까지 하려면 이 방법이 더 낫다는 것을 말씀드리는 것일 뿐, 교과 진도에서 에이급 안해도 큰 문제는 없다고 생각합니다.) 2학기는 순서대로 기본을 먼저 다 본 후에 두 번째 볼때에 요점 정리를 해가면서 기본 문제집 중에서 틀린 것들만 풀면서 리뷰를 하고, 심화는 학년 진도에 맞춰서 하면 될 것 같습니다.

아무도 답글이 없길래 그냥 제가 나서 봤는데 도움이 되시길 바랍니다.

그랑블루
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2010-09-28 13:13

항상 리치흐름님의 글을 참고하고 있어요. 그런데 1학기는 한 단원을 기본과 심화까지 진행하고 다음 단원으로 넘어가고, 2학기는 기본서 전체를 다 한 후에 심화를 하란 얘기 맞나요? 2학년, 3학년 것도 이렇게 해야 하나요? 왜 1학기와 2학기 하는 방법이 다른지 알려주세요^^

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리치 흐름
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2010-09-28 17:25

1학기는 묶음으로 진행하는 것을 말합니다.
예를 들어보겠습니다. 집합 문제들을 보면 약수와 배수, 경우의 수등의 개념을 이용하는 문제가 상당히 많습니다. 그래서 함께 묶어서 진행하는 것이 좋다는 것입니다. 대수를 이렇게 진행하는 이유는 대수는 전체적인 그림을 그릴 수 있으려면 고1 수학을 진행해봐야 합니다. 아래 제가 올린 "교보문고에 다녀왔습니다"라는 글에 어떤 분이 고등 수학을 물어오셨는데요, 그 답변을 보시면 이해가 가실겁니다. 중등의 대수는 하나하나 세밀하게 하고 넘어가야 다음 단원에서 애를 먹지 않습니다. 왜냐하면 앞에서 나왔던 것들이 계속해서 나오기 때문인데, 이런 성격이 기하보다 월등합니다. 예를 들어서 일차방정식에서 집합 기호를 사용하여 약수와 배수 개념을 이용한 풀이등이 예인데, 이렇게 연계되는 것이 많다가 보니 앞부분부터 제대로 하지 않으면 뒤로 갈수록 학습량이 계속 많아지고, 질리게 되기 때문입니다. 그래서 대수영역은 묶음별로 앞에서부터 확실하게 알고 진행해야 하는 겁니다.

반면에 기하는 전체적인 그림을 보는 것이 매우 중요합니다. 대수 영역과는 조금 다르게 앞부분에서 이용되는 것들이 뒤에서 미치는 영향력이 조금 약합니다. 그렇기때문에 전체적인 그림을 보고 가는 것이 좋다는 겁니다. 예를 들어서, 중1에 배우는 삼각형의 합동은 뒤에도 계속 나오게 되는데, 다각형이나 정다면체의 개념에서도 계속 쓰입니다. 그렇지만 대수처럼 깊게 사용되지는 않습니다. 물론 깊은 심화로 들어가면 대수가 안되면 기하도 진행하기 어렵습니다만, 이 정도의 수준은 아니기에 이렇게 하는 것입니다. 기하는 리뷰의 중요성이 대수보다 강한편인데, 이 부분에 대해서는 나중에 자세하게 글로 올려보겠습니다. 어쨌든, 1년 선행이라면 처음에 보면서 전체적인 그림을 먼저 그리고, 한 학기의 내용을 쭈욱 리뷰하면서 정리를 하는 것이 좋습니다. 또한, 그림을 정확하게 그리는 것이 매우 중요하기 때문에 처음 보면서 기본 작도를 익히고 나면 두번째 볼때에는 평면 도형이라면 작도를, 공간 도형이라면 입체감을 주어서 그리는 법을 함께 연습하면서 볼 수 있기 때문입니다. 두번째 리뷰를 할때에 바로 이런 식의 작도 + 오답 해결 후 오답노트 작성 + 내용 요약을 한번에 함께 진행하는 것이 좋습니다.

사실 기하를 제대로 공부하려면 우선 되어야 할 것이 대수를 다 보고나서 중등 기하 3년치를 선행한 후, 다시 1학년부터 전체적으로 그림을 그려가면서 삼각함수에서 기하 관련 개념까지 쭈욱 정리를 해가면서 다양한 풀이법을 함께 생각해 보는 것이 좋습니다. 좌표에 얹혀놓고 풀수도 있고, 논증 기하로 풀수도 있고, 방법은 여러가지이기 때문입니다. 기하는 여러가지 방법으로 풀어보는 것이 매우 중요합니다. 이 여러가지 방법을 서로 교차하면서 수학적 시냅스를 건설하려면 먼저 전체적인 그림을 그린 후에 이런 시냅스 구축의 측면에서 리뷰를 하는 것이 매우 효과적임을 제 아이들과의 공부에서 경험하였기 때문입니다. 어떤 기하 문제는 좌표에 놓고 풀기, 논증 기하학으로 풀기, 삼각함수로 풀기등의 세가지 방법을 쓸 수 있는 경우도 있습니다. 이런 문제들을 3가지 방법 모두를 사용하여 풀 줄 알아야하고, 그 중에서 어떤 방법이 어떤 경우에 가장 시간을 절약하고 효율적으로 풀 수 있는가를 따져보거나, 문제 풀이가 틀린 경우 틀린 이유에 대한 고찰과 반성의 시간을 가져야 기하는 많이 늡니다. 유클리드가 프톨레마이오스 왕에게 했던 말대로 "기하 공부에는 왕도가 없다" 는 것이죠.

제 의견을 요약하자면, 대수는 나무를, 기하는 숲을 보면서 진행하는 것이 학문적 성격에 더 최적화되어 있다는 것이 이유입니다. 또한 대수는 고1 교과 진도에서 정리가 가능하지만, 기하는 고등에서 배우지 않기 때문에(삼각 함수나 기하와 벡터등을 제외하면 그렇다는 말입니다.) 중등 자체에서 정리를 해야한다는 점도 고려된 학습 전략입니다.

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1학기는 묶음으로 진행하는 것을 말합니다. 
예를 들어보겠습니다. 집합 문제들을 보면 약수와 배수, 경우의 수등의 개념을 이용하는 문제가 상당히 많습니다. 그래서 함께 묶어서 진행하는 것이 좋다는 것입니다. 대수를 이렇게 진행하는 이유는 대수는 전체적인 그림을 그릴 수 있으려면 고1 수학을 진행해봐야 합니다. 아래 제가 올린 "교보문고에 다녀왔습니다"라는 글에 어떤 분이 고등 수학을 물어오셨는데요, 그 답변을 보시면 이해가 가실겁니다. 중등의 대수는 하나하나 세밀하게 하고 넘어가야 다음 단원에서 애를 먹지 않습니다. 왜냐하면 앞에서 나왔던 것들이 계속해서 나오기 때문인데, 이런 성격이 기하보다 월등합니다. 예를 들어서 일차방정식에서 집합 기호를 사용하여 약수와 배수 개념을 이용한 풀이등이 예인데, 이렇게 연계되는 것이 많다가 보니 앞부분부터 제대로 하지 않으면 뒤로 갈수록 학습량이 계속 많아지고, 질리게 되기 때문입니다. 그래서 대수영역은 묶음별로 앞에서부터 확실하게 알고 진행해야 하는 겁니다.

반면에 기하는 전체적인 그림을 보는 것이 매우 중요합니다. 대수 영역과는 조금 다르게 앞부분에서 이용되는 것들이 뒤에서 미치는 영향력이 조금 약합니다. 그렇기때문에 전체적인 그림을 보고 가는 것이 좋다는 겁니다. 예를 들어서, 중1에 배우는 삼각형의 합동은 뒤에도 계속 나오게 되는데, 다각형이나 정다면체의 개념에서도 계속 쓰입니다. 그렇지만 대수처럼 깊게 사용되지는 않습니다. 물론 깊은 심화로 들어가면 대수가 안되면 기하도 진행하기 어렵습니다만, 이 정도의 수준은 아니기에 이렇게 하는 것입니다. 기하는 리뷰의 중요성이 대수보다 강한편인데, 이 부분에 대해서는 나중에 자세하게 글로 올려보겠습니다. 어쨌든, 1년 선행이라면 처음에 보면서 전체적인 그림을 먼저 그리고, 한 학기의 내용을 쭈욱 리뷰하면서 정리를 하는 것이 좋습니다. 또한, 그림을 정확하게 그리는 것이 매우 중요하기 때문에 처음 보면서 기본 작도를 익히고 나면 두번째 볼때에는 평면 도형이라면 작도를, 공간 도형이라면 입체감을 주어서 그리는 법을 함께 연습하면서 볼 수 있기 때문입니다.  두번째 리뷰를 할때에 바로 이런 식의 작도 + 오답 해결 후 오답노트 작성 + 내용 요약을 한번에 함께 진행하는 것이 좋습니다.

사실 기하를 제대로 공부하려면 우선 되어야 할 것이 대수를 다 보고나서 중등 기하 3년치를 선행한 후, 다시 1학년부터 전체적으로 그림을 그려가면서 삼각함수에서 기하 관련 개념까지 쭈욱 정리를 해가면서 다양한 풀이법을 함께 생각해 보는 것이 좋습니다. 좌표에 얹혀놓고 풀수도 있고, 논증 기하로 풀수도 있고, 방법은 여러가지이기 때문입니다. 기하는 여러가지 방법으로 풀어보는 것이 매우 중요합니다. 이 여러가지 방법을 서로 교차하면서 수학적 시냅스를 건설하려면 먼저 전체적인 그림을 그린 후에 이런 시냅스 구축의 측면에서 리뷰를 하는 것이 매우 효과적임을 제 아이들과의 공부에서 경험하였기 때문입니다. 어떤 기하 문제는 좌표에 놓고 풀기, 논증 기하학으로 풀기, 삼각함수로 풀기등의 세가지 방법을 쓸 수 있는 경우도 있습니다. 이런 문제들을 3가지 방법 모두를 사용하여 풀 줄 알아야하고, 그 중에서 어떤 방법이 어떤 경우에 가장 시간을 절약하고 효율적으로 풀 수 있는가를 따져보거나, 문제 풀이가 틀린 경우 틀린 이유에 대한 고찰과 반성의 시간을 가져야 기하는 많이 늡니다. 유클리드가 프톨레마이오스 왕에게 했던 말대로 "기하 공부에는 왕도가 없다" 는 것이죠. 
 
제 의견을 요약하자면, 대수는 나무를, 기하는 숲을 보면서 진행하는 것이 학문적 성격에 더 최적화되어 있다는 것이 이유입니다. 또한 대수는 고1 교과 진도에서 정리가 가능하지만, 기하는 고등에서 배우지 않기 때문에(삼각 함수나 기하와 벡터등을 제외하면 그렇다는 말입니다.) 중등 자체에서 정리를 해야한다는 점도 고려된 학습 전략입니다.

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그랑블루
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2010-09-28 23:58

넵, 답글 감사 만땅이요~~

에서로
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2010-10-07 00:13

쪽지를 거부해 놓으셨네요.... 입실론-델타법까지 언급하셔서 놀랐습니다. 민감한 내용이라 쪽지를 드리려 했으나 여의치 않아 여기에 글을 남깁니다. 혹시 수학을 전공하신 다른 분이 읽으시면 다소 민망한 내용이 있습니다.

입실런-델타법은 도형의 넓이나 부피를 구하는데 엄밀히 사용되는 개념은 아닙니다. 물론 아예 관계가 없는 것은 아니나 극한값의 수렴과 발산을 논할 때 사용하는 방법이지요(전문적인 설명은 생략하겠습니다. ) 도형의 부피나 넓이를 구할 때 사용하는 개념은 "구분구적법" 이라 불리는 방법이지요. 구의 부피나 원의 넓이는 이러한 구분구적법으로 비교적 엄밀하게 구해낼 수 있습니다.

댓글을 다는 것이 조금 민망하네요. 전공자랍시고 좋은 글에 꼬투리 잡는 것 같아서요... 죄송합니다.

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리치 흐름
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2010-10-07 13:32

꼬투리라니요. 별 말씀을 다하십니다. 우선 좋은 글 감사합니다.
제가 입실론 델타법을 언급한 것은 아르키메데스의 구의 부피를 구하는 방법에 국한되어서 바라볼 때를 가정하고 사용한 것입니다. 말씀하신 것처럼 구의 부피를 구하는 수준이면 구분구적법으로 구할 수 있지요. 그런데 구분 구적법은 고등학교에서도 배우는 것으로 알고 있습니다. 원의 면적이나 구의 부피를 구할때에 먼저 기하적 측면에서 미분을 해야하고, 제가 입실론 델타법을 껴넣은 부분은 이 방법에서 밑면의 넓이가 0으로 한없이 갈때에 구의 반지름이 직육면체의 높이에 수렴한다는 미분적 개념에 엄밀성을 줄 수 있다는 것을 말한 것입니다.

그런데, 지적을 받고 보니 제 글에서의 요지를 맞추기 위해서 억지로 끼어넣었다는 생각이 듭니다. 보다 신중히 사용했어야 했음을 인정합니다. 옳으신 지적 감사하구요, 앞으로도 많이 지적해 주십시요. 모르면 배우는 것은 당연한 것 아니겠습니까? 돈을 내고라도 배워야 하는 것이 사람의 도리가 아니겠습니까? 꼬투리라고 생각 안하니 넘 심려치 않으셔도 됩니다. 직장을 다니면서 아이들과 공부를 한다는 것이 참 힘이 듭니다. 그럴때마다 전공하신 분들이 너무 부러울 때가 있습니다.

앞으로도 좋은 글 많이 부탁드리구요, 바쁘시겠지만 제가 올린 토론 제안에도 참여하여 주시면 많은 분들에게도 도움이 될 것 같습니다.

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