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학생들의 실제 수행과 교육기관에서 기대하는 것 사이에는 엄청난 간격이 있다.
이렇게 된 이유에 대해 나는, 교육과정에 정해 놓은 학습 목표를 학생들의 인지능력에 대한 충분한 이해를 바탕으로 하지 않고 설정되었기 때문이라고 본다.
우리는 사회적, 정치적 압박 때문에 우리 학생들 전체에게 너무나 높은 학습 목표를 세워둔다.
불행하게도, 규준을 높게 설정하였다고 해서 성취도 높아지는 것은 아니다.
교육 기관들은 학습 목표를 학생들의 실제에 맞춘 수준이 아닌 미사여구들을 동원하고 있는 데, 내가 보기에 이것은 위험하며 바람직하지 않다.
올바르게 접근하려면, '먼저 학생들이 어떻게 생각하고 있는지를 보고, 그 다음에 그에 따라 교육 목적을 설정하는 것'이다.
우리가 수업이 의미있게 일어나기를 바란다면, 개념과 추론에 더 많은 시간을 투자해야 한다.
...하지만 나는 나의 이런 권고를 사람들(교육관계자)이 진지하게 검토하지 않을 것이라는 것을 안다.
이미 정치적 시스템이 되어버린 교육 시스템은 아이들에게 가능한 한 높은 규준을 만들려고만 할 것이며, 평가 결과가 기대에 미치지 못하더라도 그럴듯한 미사여구를 동원하는 것을 멈추지 않을 것이 분명하기 때문이다.
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이스라엘의 예루살렘 대학 교수 Vinner (1992) 'The function concept as a prototype for problems in mathematics learning'중에서.
...Vinner 교수는 수학에서 '개념 정의와 개념 이미지'에 관한 이론으로 유명한 학자입니다.
(수학에서 개념 정의를 먼저 이해하고 그 개념에 맞는 이미지를 찾아야 하는 데, 실제로는 개념 설명을 위해 예로 들은 각종 '이미지'가 오히려 정의 자체에 영향을 주어 학생들이 그 정의를 임의로 생각하게 할 수도 있다는 내용)
이 분은, 우리가 생각하고 기대하는 것 만큼 학생들은 아주 기본적인 개념도 잘 알고 있지 못하다라고 주장하고 계십니다.
기본적인 개념을 안다는 것 자체가 결코 쉽지 않기 때문이지요.
예를 들어, 미국의 교육과정을 위한 규준에는 "모든 학생들은 수학적 정의를 이해할 수 있을 것으로 기대된다."고 되어 있는데 실제로는 심화반 학생의 약 1/3가량만이 수학적 정의를 제대로 이해하고 있을 뿐입니다. (오랜 동안의 연구들에 의한 공통된 결론)
Vinner 교수는 이런 낮은 성취의 원인을 '어쩔 수 없는 인간의 인지적인 본성' 때문이라고 합니다. 수학의 특징은 연역적인데 인간의 사고 흐름은 그렇게 체계적이지는 않기 때문이라는 것이지요.
예를 들어 "정사각형이 직사각형이냐?"라는 질문에 대다수의 5학년 학생들이 "아니다. 왜냐하면 직사각형은 가로, 세로의 길이가 다르기 때문"이라고 대답한 것이 그 증거입니다.
직사각형의 정의(네 각이 직각인 사각형)이라는 정의에 입각해서 본다면 네 변의 길이가 같던 다르던 네 각이 직각인 사각형은 모두 직사각형임에도 불구하고, 대부분의 학생들에게는 이렇게 단 한 줄로 간단히 되어있는 정의 자체를 이해하는 것 조차 어렵다는 것이죠.
한번 정의를 익히면 모든 것을 그에 입각해서 생각해야 하는 데, 실제로는 엉뚱하게 다른 것과 연결짓거나 그럴 듯한 말을 지어내는(단지 '아는 척'하기 위한!) 의미없는 의사소통을 하고 있기 때문입니다.
상황이 이러함에도, 학습 목표에는 버젓이 '모든 학생들이 정의를 이해할 수 있을 것이다.'라고 하고 있습니다. 그는 "도대체 교육 당국은 아이들의 실제 상황을 모르는 것인지, 아니면 모른체하고 있는 것인지 알 수 없다."며 개탄하고 있습니다. (이 교수님은 미국의 예를 들었지만, 세계 어느 나라나 다 비슷하지 않을까...)
Vinner 교수의 주장은, 수학이 학생들과 맞지 않으니까 가르치지 말아라가 아니라(^^;;;),
최소한 학생들의 인지적 능력을 감안해서 학습 목표를 세우고, 기초 학습에 많은 신경을 써야 한다는 것이었습니다.
이것은 교육 당국 뿐 아니라. 학교, 가정, 학원들에서도 마찬가지여야 한다고 생각합니다.
저 또한, 각종 경시대회며 선행학습의 유행 대열에 끼어있는 아이들이 정말이지 기초적인 개념들을 정확히 알고는 있는 걸까, 교사들 또한 각각의 개념들을 정확히 알고 있는 걸까? 하는 회의에 들곤 합니다.
개념 학습은 간단하지 않습니다.
개념학습을 무시하거나, 소홀히하는 것은 바람직한 수학 지도가 아닐 것입니다.
개념을 익히고 추론을 하는 것을 가르치고 배우는 과목이 수학교육의 목적이라고 했을 때 말입니다.
...수학 학습 지도와 관련해서 Vinner 교수의 의견에 크게 공감하였고, 저만 읽기 아까와서 일부 인용해서 올렸습니다.
내용 자체는 제가 늘 드리는 말씀이긴 하지만, 좀 더 객관적이고 강한 인상을 드리지 않을까 하는 기대와 함께 중등 수학의 방향 잡는 데 도움이 되셨으면 하는 바람도 담겨 있습니다...
중1 365일 기본회화(광주교육청 발췌) 
학원에 대한 추억