중등 기하 3년치를 정리해보았습니다. > 중.고등교육 게시판

중학교에서는 기하를 3년동안 "나"과정에서 배우게 됩니다. 중등 과정의 3년치를 학년별로 구분해서 공부법과 중요한 단원들, 그리고 고1 수학으로 어떻게 연결되는지에 대해서 제 생각을 올려보고자 합니다. (매학년마다 처음에 나오는 확률과 통계 단원은 이 글에서는 배제합니다.) 또, 수학자 시리즈에서 연관이 있는 부분들도 함께 적도록 하겠습니다.

먼저 중등과 고1 수학의 연계성에 대해서 간단히 설명하자면 중등의 기하는 10과정, 흔히들 말하는 고등학교 1학년 2학기 수학과의 연계성이 상당히 높습니다. 10나를 끝으로 이과를 가지 않는다면 도형은 더 배우지 않게 되기 때문에 중등 기하와 10나 과정은 깊게 공부를 해두는 것이 좋습니다.

1. 중1 기하

우선 중1 기하는 다음과 같은 순서로 구성되어 있습니다.

기본도형, 작도와 합동, 평면도형, 입체도형

좀 더 세분화 해서 흐름을 알아보자면, 우선 기본도형에서 점,선,면의 개념과 위치관계, 평행선의 성질등에 대해서 배우게 됩니다. 기하를 이루는 구성 요소들이 어떤 위치관계를 이루면서 평면 혹은 공간 도형들을 만들어가는지에 대해서 배우게 되지요. 수학자 시리즈에서는 17편 유클리드의 기본도형과 다각형과 61편 유클리드의 공간도형이 관련이 있는데, 17편에서는 점,선,면의 정확한 개념을 유클리드의 원론에 나와있는대로 알기쉽게 설명하고 있습니다만, 꼬인 위치나 이런것들은 다루지 않고 있습니다. 61편에서는 이 부분들을 잘 다루고 있는데, 뒤에 가면 삼수선의 정리가 나올정도로 어려워집니다. 삼수선의 정리가 나오는 곳 전까지는 어렵지 않게 볼 수 있을 겁니다. 이 두권을 함께 보면 도움이 될것입니다.

작도는 가볍게 넘어가면 안됩니다. 기본도형의 작도는 직접 자와 컴퍼스를 가지고 완전히 내것으로 만들 수 있을때까지 익히는 것이 중요합니다. 중2에 가면 작도를 직접 해봐야 이해가 쉽고 빠른 삼각형의 오심이 나오며, 중3에의 원과 비례에서도 심화 과정으로 들어가려면 작도는 매우 중요합니다. 그러므로 작도는 확실하게 잘 익혀둘 필요가 있으며, 수학자 시리즈에서는 29편 히포크라테스의 작도를 보고 내것으로 익히고 작도법을 잊지 않도록 반복해서 연습을 해야하며, 작도의 증명도 함께 해주는 것이 좋습니다.

합동은 기하에서 증명을 하는데에 매우 중요한 부분이며, 난이도 높은 문제를 풀때에도 단골 손님처럼 등장하는 파트입니다. 합동은 닮음비가 1:1인 특별한 닮음이라고 이해를 시키는 것이 좋습니다. 그렇지 않으면 닮음과 합동을 다른 것으로 인식할 위험이 있기 때문입니다. 삼각형의 합동과 관련해서는 4편 유클리드의 삼각형을 보시면 될겁니다. 이 단원은 충분히 숙지를 하고, 다양한 문제를 풀어보면서 합동이 어떻게 이용되는지에 대한 감각을 키워두는데에 중점을 두어야 합니다.

평면 도형에서는 다각형과 원을 다루게 되는데, 다각형에서 중요한 것은 외각의 개념인데, 삼각형으로 쪼개어지면서 나오는 여러가지 공식들에 대한 증명을 해보면서 가는 것이 좋습니다. 공식은 증명을 통해서 이해하면 그것으로 족합니다. 대신에 정오각형, 정육각형, 정팔각형, 정십이각형정도는 작도법과 함께 한각의 크기는 외워두는 것이 나중에 여러모로 편합니다. 이중 정오각형의 작도법 증명은 상당히 난해하기 때문에 아이가 어려워한다면 그냥 작도법만 알아둬도 괜찮습니다. 수학자에서는 위에 소개되었던 유클리드의 기본도형과 다각형의 후반부가 해당됩니다.

원은 직각삼각형과 더불어서 중등 기하에서 가장 중요한 도형입니다. 중1에서는 원의 기본 성질들을 배우게 되는데, 원주율의 개념이나 원과 관련된 용어들의 정리, 원의 면적과 구의 겉넓이와 부피도 함께 알아두는 것이 좋습니다. 수학자에서는 28편 조충지의 원을 보시면 도움이 되겠지만, 이것으로는 많이 부족합니다. 원 단원만큼은 합동 단원과 더불어서 중1과정에서 가장 중요한 단원이므로, 완벽하게 공부하려는 노력이 많이 필요합니다. 원에 대해서 공부하다가 보면 원의 면적을 구하는 개념이 나오게 되는데, 이 개념이 나중에 미분과 적분을 하는데에도 쓰이게 됩니다. 그러므로, 아르키메데스의 구의 부피를 구한 아이디어등을 과정을 충실하게 공부를 해두는 것이 좋습니다. 물론 구는 입체도형에서 나옵니다만, 한번 끝까지 본 후에는 원과 함께 엮어서 머리속에 방을 만들어 두는 것이 좋다는 판단입니다.

공간 도형에서는 5개의 정다면체와 뿔, 각뿔대, 기둥, 구등이 나오는데, 이 부분은 계산력만 정확하다면 그다지 이해가 어려운 부분은 아닙니다. 물론 어려운 문제를 내려면 엄청나게 어렵지만, 중1에서는 이정도까지는 다루지 않으므로 이해만 잘 된다면 넘어가도 괜찮을 듯 싶습니다. 이 단원은 전개도와 공간도형과의 관계가 나오게 되는데 이 부분은 클리코로 직접 만들어보면서 하면 이해가 빠르고 좋습니다. 수학자 책에서는 12편 아르키메데스의 다면체를 보시면 도움이 될겁니다.

정육면체의 단면은 시중의 문제집중에 개념+유형 라이트라는 문제집이 있는데, 이 문제집 157페이지에 단면 그림이 아주 잘 나와있습니다. 문제집을 사진 않더라도 이 부분만큼은 복사를 한다거나 보고 따라 그리는 것으로 보충을 해주는 것이 좋습니다. 체험을 해보고자 한다면 두부를 사서 직접 잘라보고 단면을 확인해보는 것도 좋습니다.

회전체는 42편 아르키메데스 회전체와 무게중심을 보면 되는데, 무게중심은 중2에 나오는 과정으로서 이 책에서는 회전체 부분만 읽어도 충분합니다.

2. 중2 기하

중2 기하는 매우 중요합니다. 그런데 아이들이 매우 어려워하기도 합니다. 저희집의 경우에도 중2 기하는 상당한 시간이 소요되었던 것으로 기억합니다. 중2 기하가 중요하면서도 어렵게 느껴지는 이유는 논증기하학이 본격적으로 시작되기 때문입니다. 논증 기하학이라는 것은 증명이라는 방법을 통해서 명제의 참,거짓을 따지는 것으로 생각하시면 이해가 빠를겁니다. 중1 과정에서 작도나 증명, 합동과 원에 대해서 잘 다져놓지 않은 학생은 중2 기하를 굉장히 어렵게 느끼게 될 것입니다. 왜냐하면 평생 해보지도 않은 증명들이 쏟아져 나오는 학년이기 때문입니다. 반면에 중1 기하를 잘 다지고 난 후에 접근하면 중2 기하는 오히려 재미있습니다. 저희 아이들 경험이기도 합니다.

중2 기하의 순서는 다음과 같습니다.

삼각형의 성질 , 사각형의 성질, 닮음과 무게중심

삼각형의 성질에서 맨 처음에 나오는 것이 명제, 정의, 증명, 정리같은 것의 구분이 나오게 됩니다. 이것부터 나오는 이유가 위에서 말씀드린대로 논증기하학을 시작하겠다는 선전포고이기 때문입니다. 이 부분들을 가볍게 넘겨서는 안됩니다. 왜냐하면 뒤로 가면서 계속해서 정의와 성질을 구분해서 사용하기 때문입니다. 예를 들어서 직사각형의 정의는 네 각이 모두 직각인 사각형이고, 두 대각선의 길이가 같다는 것은 성질이며, 정의의 내용은 증명에 언제나 사용할 수 있지만, 성질은 주어진 조건만을 사용하여 증명하여야 하기 때문에 증명과 관련해서도 제대로 이해하는데에 매우 중요합니다. 명제의 역,이,대우등은 고등과정에서 깊게 배워도 되기 때문에 대우법같은 증명법까지 익힐 필요는 없습니다만, 에이급 수학에서는 명제에 대해서 고등학교 수준까지 다루고 있습니다. 각설하고, 이 부분에서 특히나 중요한 것은 정의와 성질이 가정과 결론으로 이루어진 명제를 증명하면서 어떻게 다르게 사용되는지에 대해서 깊게 알아야 합니다. 수학자 시리즈에서는 러셀의 명제와 논리가 관련 책입니다만, 뒷부분에서는 패러독스까지도 나옵니다. 제논의 역설, 러셀의 패러독스같은 것은 그냥 재미로 이런것도 있구나 하고 넘어가도 될 것입니다.

그 다음부터 이등변 삼각형부터 시작하여 직각삼각형의 합동조건이 나오고, 이어서 삼각형의 오심중에서 외심과 내심이 나옵니다. 아주 중요한 부분이면서도 어렵고 증명해야 할 부분도 많기 때문에 이 부분에서 작도와 증명에 익숙해져야 합니다. 중3까지 증명은 계속되기 때문에 기하의 공부 습관을 제대로 잡을 수 있는 곳이기도 하며, 또 그만큼 내용이 어렵기도 합니다. 그렇지만 시간이 걸리더라도 내용 숙지와 기하 습관을 잡고 가야하는 절벽 끝 낭떠러지 입니다. 이 부분에서 습관을 제대로 잡지 못하면 기하의 개념을 많이 사용하는 10나 과정에서 큰 곤욕을 치르게 될 가능성이 높습니다. 수학자 시리즈에서는 이등변 삼각형과 직각 삼각형은 중1 합동단원에서 관련이 있었던 4편 삼각형 이야기를 다시 깊게 보면 좋습니다. 외심과 내심은 38편 오일러의 삼각형의 오심중에서 외심과 내심 관련만 보면 됩니다. 특히나 이부분은 무리해서 끝까지 미리 볼 필요가 없습니다. 왜냐하면 중2 닮음에서 무게중심이 나오게 되고, 중3 원과 비례에서 방심이 나오게 되기 때문에 삼각형의 성질 단원을 공부할 때에는 외심과 내심만 봐도 됩니다. 단, 외심과 내심에서는 외접원과 내접원의 성질도 많이 이용하기 때문에 중1의 원을 가볍게 리뷰한 후에 들어가면 좋습니다.

사각형의 성질에서는 사각형의 정의와 성질들에 대해서 배우게 되는데, 이때 많은 기하적 지식들이 쏟아져 나오게 됩니다. 그러므로 이 단원을 공부하다가 증명에서 잘 이해가 안가는 부분이 있으면 앞서 나왔던 삼각형의 성질이나 중1 과정에서 관련 내용들을 다시 한번 철저히 보고, 진도를 나가는 것이 좋습니다. 사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형등의 정의와 성질, 증명등을 잘 알아두어야 중2의 하일라이트인 닮음 단원에 가서 고생을 안합니다. 물론 이 단원들도 가급적이면 작도를 다 해보는 것이 좋습니다. 수학자에서는

54편 피타고라스의 사각형 이야기를 보시면 되고, 좀 더 깊게 공부하려면 사각형 다시보기라는 책을 보면 도움이 될 것입니다.

마지막 단원은 닮음과 무게중심이 나오게 되는데, 매우 어렵고도 중요한 부분입니다. 이 부분을 아이가 잘 못한다면 직접 그려서 오리고, 그것을 돌기거나 뒤집거나 하면서 감각을 키워주는 것이 좋습니다. 어려서 칠교같은 것을 많이 해본 아이라면 그리 어려워하지는 않을 것 같습니다만, 문제 자체도 난이도가 높을 뿐더러 회전 감각이 좋아야 하기 때문에 특히 어려워하는 것 같습니다. 닮음과 관련하여 한가지 팁을 드리자면 두 삼각형의 닮음을 적을때에는 반드시 해당하는 각과 관련하여 순서를 올바르게 적도록 습관들여야 한다는 점입니다. 사실 이 팁은 중1 합동부터 하는 것이 좋습니다. 예를 들어서 삼각형 ABC와 삼각형 ABD가 닮음이다가 맞는데 이것을 마음대로 삼각형 ABC와 삼각형 DAB가 닮음이다라는 식으로 적으면 안된다는 것입니다. 이것을 제대로 적어놓으면 닮음비를 매우 쉽게 찾을 수 있기 때문에 이 습관을 잘 들여야 합니다. 수학자에서는 9편 탈레스의 닮음을 보면 좋고, 특히 이 책에 탈레스의 정리가 나오는데 반드시 잘 알아두어야 합니다. 왜냐하면 9 과정에서 아주 중요한 정리로 너무 많이 사용되기 때문입니다.

무게중심은 삼각형의 오심중에서 무게중심을 이때 보면 됩니다. 아르키메데스 회전체와 무게중심의 무게중심도 함께 보면 좋습니다.

3. 중3 기하

중3 기하는 단원수가 매우 적어서 중2 과정을 충실하게 했다면 매우 빠른 속도로 끝낼 수 있는 학년입니다. 다만, 수의 범위가 루트로 확장되기 때문에 루트에 대한 개념과 분모의 유리화 정도는 능숙하게 할 수 있다는 것이 전제가 되어야 합니다.

중3과정은 다음과 같습니다.

피타고라스의 정리, 원과 비례, 삼각비

피타고라스의 정리는 수학자책을 깊게 공부하는 것이 매우 중요합니다. 사실 피타고라스의 정리 증명법은 300가지도 넘습니다만, 수학자책에 나와있는 증명법만 제대로 알아도 큰 문제는 없습니다. 3편 피타고라스의 피타고라스 정리를 읽으면서 완벽하게 이해하고 언제 어디서라도 술술 증명법을 말할 수 있을 정도로 깊게 공부를 해놓는다면 나중에 매우 편리합니다.

원과 비례는 중3 과정에서 가장 어려운 단원입니다. 중1~피타고라스 정리까지 모든 기하의 지식들이 총출동하는 메이져 무대와 같은 단원이며, 굉장히 어렵습니다. 증명을 해야하는 것도 엄청나게 많으며, 증명 하나하나가 난이도가 높기 때문에 확실하게 익히고, 반복 학습을 하는 등의 많은 노력을 필요로 하는 단원입니다. 이 단원 만큼은 많은 문제를 풀어보는 것이 개념 습득에도 큰 도움이 되며, 이전 기하 공부들의 내용들도 쏟아지기 때문에 중등 기하 전체를 한번 정리한다는 의미도 부여할 수 있습니다. 수학자에서는 72편 탈레스의 원2를 보시면 될 것입니다.

마지막을 장식하는 것은 삼각비인데, 사실 기하에서 삼각비를 알게 되면 많은 문제들이 급 쉬워지게 됩니다. 교과 과정에서는 sin, cos, tan의 개념과 30, 45, 60도 같은 특수각의 삼각비와 그 응용만 다루고 있습니다만, 기하를 깊게 공부하려면 삼각 함수까지도 한다는 각오로 접근해야 합니다.(중3까지 대수는 모두 공부가 되어 있다는 전제에서입니다.) 특히 10 나에 나오는 삼각함수에서 호도법, 4분면과 삼각비의 값, 삼각함수의 그래프, 싸인, 코싸인 법칙과 도형에의 응용은 고1 교과서 수준에서라도 가급적 연결하여 하는 것이 좋습니다. 그 이유는 기하 공부에서 삼각비가 고등과정과 가장 잘 연결되는 연계단원이기 때문이며, 수능에서도 매우 중요하기 때문입니다. 수학자 책에서는 44편 프톨레마이오스의 삼각비1, 87편 프톨레마이오스의 삼각비2, 49편 푸리에의 삼각함수까지 모두 읽고 섭렵하는 것이 좋습니다. 학년별로 선행을 하지 않고 영역별로 중등 선행을 할 경우에 대수를 먼저하고 나서 기하를 하는데, 그 이유가 삼각비 부분을 공부하다가 보면 왜 그렇게 해야하는지를 뼈져리게 느끼게 됩니다. 삼각함수까지 연결해서 하기를 권하는 이유는 외심과 내심 + 원과 비례를 종합적으로 이해하는데에 매우 중요한 공식들이 등장하게 되는데, 그것들이 전부 10나 삼각함수 단원과 연결되어 있기 때문입니다. 삼각방정식이나 삼각부등식, 수2에 나오는 덧셈정리같은 것까지 할 필요는 없습니다만, 최소한의 삼각함수의 개념 (그래야 둔각 삼각형의 sin, cos에서 자유로울 수 있기 때문입니다)은 내것을 이해하고 그래프도 그릴 줄 알아야 합니다. 특히 싸인,코싸인 법칙은 외접원의 반지름, 면적, 헤론의 공식등과 관련이 되기 때문에 꼭 알아두어야 실질적으로 기하의 기본기를 완성한다고 볼 수 있기 때문입니다.

제가 아는대로 중등의 기하 과정을 적어보았는데, 급하게 쓰느라고 부족한 부분도 많습니다. 그래도 전체적인 흐름을 파악하는 수준에서는 조금이나마 도움이 되지 않을가 싶습니다.

태풍이 와서 아침 출근부터 어수선했던 관계로 평일에 일찍이 집에와서 글을 쓰다보니 벌써 시간이 이리 되었습니다. 부족한 글임에도 여기까지 읽어주셔서 감사합니다.

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