기하와 통합적 사고에 대한 사견 > 중.고등교육 게시판

저는 개인적으로 기하 공부를 굉장히 좋아합니다. 특히 수와 기하를 통합적으로 사고하는 공부를 굉장히 좋아합니다. 그런데 기하라는 말의 뜻을 잘 모르는 학생들이 의외로 많습니다. 기하,기하 하면서도 기하가 무슨 뜻일가를 모르는 학생들이 많다는 이야기지요. 물론 말뜻을 모른다고 해서 수학 문제를 푸는데에는 아무런 문제가 없습니다. 그럼에도 기하라는 말부터 어느정도는 알아야하는 이유가 "기하를 어디다 써먹지?"라고 물으면 꿀먹은 벙어리가 되는 학생이 의외로 많기 때문입니다. 따라서, 기하라는 말부터 알아보는 것이 좋을 것 같습니다. 너무나도 유명한 이야기지만 이 이야기에 대해서 모르는 분들도 계실 것 같아서 적어봅니다.

기하는 영어로 Geometry라고 합니다. 'geo'는 어원이 땅을 뜻하고, 'metry'는 어원이 측량을 뜻합니다. 이를 조합해 보자면 "땅을 측량하는 것"이라는 의미입니다. 고대 이집트에서는 나일강의 범람이 잦았는데, 범람후에 땅의 영역의 표시가 상당히 곤란했었습니다. 그래서 땅을 측량하는 기술이 자연스럽게 발전하게 되었고, 자연스럽게 도형과 관련된 학문이 발전하게 되었습니다. 고대 그리스의 유명한 수학자들중 상당수가 이집트에서 수학, 특히 기하학을 배워온 경우가 많은데, 피타고라스, 탈레스등이 대표적인 예입니다. 기하라는 말은 영어 geometry의 geo를 중국어에서 차용하여 "기하"라고 발음하게 된 데에서 유래합니다.

기하의 어원부터 알아보면서 저는 몇가지 궁금증이 생겼었습니다. 그리고 이 궁금증에 대한 답을(정답은 아니고 대충의 답 수준에서 알게됐기에 부끄럽습니다만) 교육과정에서 발견하게 되었는데, 바로 이 부분들이 교육과 관련되어서 또 사고력과 관련되어서 기하가 왜 중요한지를 깨닫게 되었고, 바로 이 부분이 오늘 제가 쓰고자 하는 글의 핵심이기도 합니다.

우선 제 궁금증들을 정리하여 보자면,

1. 수와 선은 같은 것인가?

2. "유클리드의 원론"은 어떠한 방법으로 기하를 표현하고 있는가?

3. 기하는 수능과 아무런 관련이 없는가?

4. 기하는 아이들 교육에 어떠한 영향을 미치는가?

위의 4가지였습니다. 이 부분들에 대한 제 논리의 전개는 철저히 제 개인적인 사견입니다. 여러번 말씀드리지만 저는 전문가도 아니고, 수학 교육을 생업으로 하는 사람도 아닙니다. 그저 수학이 좋아서 수학을 공부하고 있는 어찌보면 늦깎이 학생입니다. 이 부분은 먼저 참고하시기 바랍니다.

1. 수와 선은 같은 것인가?

"수=선"이라는 개념을 모르는 사람은 없습니다. 아이들은 초등학교부터 수직선에 점을 찍어놓고 그 칸을 세거나 하면서 수와 선이 같은 것이라는 생각을 하게 됩니다. 많은 전문가들이 개념을 정확히 알아야한다고 말을 합니다. 저도 그렇게 생각하고요. 그럼 아이들이 알고 있는 "수=선"이라는 것에 고등학생 수준에서 수학적 엄밀성이 부여되어서 가르치고 있을가요?

중3 교과 과정에서 무리수를 수직선상에 표시하는 방법이 나옵니다. 아이들은 선에 유리수와 무리수가 모두 들어있음을 알게 됩니다. 그렇다면 이정도 개념으로 완벽하게 안다고 할 수 있을가요? 전 그렇지 않다고 생각합니다. 저도 정확히는 모릅니다만, 제 수준에서는 수=선 이라는 명제를 이해하려면 최소 작도와 무한이라는 두가지는 심도있게 알아야 기본기를 갖추었다고 생각합니다. 그 이유를 제 아이들과의 수학 공부의 경험을 빗대어서 말씀드려보겠습니다.

우선 제 아이들을 상대로 테스트를 해보았습니다. 중2 기하중 닮음을 공부할 때입니다. 닮음을 공부할때에 보통은 간단한 증명을 통해서 여러가지 정리를 배우는 것으로 대부분의 문제집들은 구성이 되어 있습니다. 아이들에게 닮음을 증명할 수 있는지 물었습니다. 수학적 기호들을 사용하여 쉽게 닮음을 증명하더군요. 그래서 그 다음을 물었습니다. 하나의 선분을 세개의 같은 길이로 나누는 작도를 할 수 있냐고요. 작도를 잘 하더군요. 그래서 다음과 같은 문제를 내었습니다.

"세개의 선분이 있다. 첫번째 선분의 길이를 기준인 1이라고 칭하자. 두번째 선분의 길이를 a, 세번째 선분의 길이를 b라고 하자. ab를 작도할 수 있는가?"

아이들은 어리둥절했습니다. a곱하기 b를 작도하다니?라고 생각하면서 저에게 되묻더군요. 이런게 어디있냐고요. 정답부터 말하자면 닮음의 작도를 이용하여 ab뿐만이 아니라 a/b, b/a등도 모두 작도할 수 있습니다.

수=선임을 알고 있냐고 물었습니다. 안답니다. 그럼 수가 선과 같다면 수의 계산처럼 선의 계산도 할 수 있지 않을가? (물론 3대 작도 불능문제같은 예외적인 경우도 있습니다만, 실수의 범위내에서는 대부분은 수의 계산의 결과를 선의 길이로 표시할 수 있습니다.)라고 물었습니다. 갑자기 멍해지는 제 자식들의 얼굴을 보면서 안타까움을 금할 수 없었습니다. 수=선이라는 개념을 위치적으로만 가지고 있을 뿐, 길이들의 계산을 가지고 할 수 있음까지는 생각이 미치지 못하고 있다는 사실을 알게 되었기 때문입니다.

이런 일이 있은 후에, 첫째가 9나과정을 공부할때에는 사뭇 다른 모습이 나타났습니다. 제가 낸 문제는 다음과 같았습니다.

1. 이차함수 f(x)의 근을 구하라.

2. 원의 할선정리를 이용하여 이차함수 f(x)의 근을 작도하라.

여기서 중요한 것은 2번 문제였습니다. 제가 관심을 가졌던 것은 2번을 풀 수 있는가에 있지 않았습니다. 어떤 반응을 보이는가 였습니다. ab의 작도를 하라고 했을때 당황하던 모습은 전혀 보이지 않았습니다. 물론 제 아이는 이 문제를 풀어내지 못했지요. 그래서 가르쳐주었는데, 아이의 입에서 외마디가 흘러나왔습니다. "선은 과연 수이구나!!"

공통수학 하에서는 해석기하학의 기초를 다룹니다. 그런데 아이들이 이부분을 상당히 어려워하는데, 여러가지 이유가 있겠으나, 제가 생각하는 가장 큰 이유는 수의 계산처럼 길이의 계산도 할 수 있다는 것, 수로 표현되는 것과 같은 이치로 선으로 표현될 수 있다는 생각을 갖고 있지 못하기 때문이 아닐가 싶습니다. 첫째가 10나를 공부할때에 당황하는 구석이라곤 전혀 찾아볼 수 없었습니다. 너무나도 당연한 것들로서 받아들일 수 있었으며, 10가에 비해서 상당히 어려운 부분임에도 오히려 10가보다 더 쉽게 느껴졌다고 합니다.

막연하게 수=선 이라는 생각만으로 접하게 되기 때문에 개념에 대한 이해의 깊이가 얕으며, 선을 계산한다는 것에 대한 두려움을 갖게 되는 것이 그 원인이 아닐가 싶습니다.

저에게는 명문대 수학과에 재학중인 조카가 하나 있습니다. 군대를 갔다와서 2학년으로 복학을 한 녀석인데, 하루는 이 녀석이 집합론을 수강하는데 그 의미를 잘 모르겠다며 저희집에 찾아온 적이 있습니다. 어려서부터 이 녀석과 수학에 대한 토론을 많이 하였고, 수학 실력 또한 상당한 녀석이라 많은 나이차에도 불구하고 조카와의 토론은 늘 즐거웠던 기억 뿐입니다. 당시 이 녀석이 어려워하던 개념은 dense라는 개념이었습니다. 그 당시 이 녀석에서 책을 하나 추천하였는데 그 책의 이름은 "무한의 신비"입니다. 이 녀석이 이 책을 읽은후에 저에게 한다는 소리가 "삼촌, 내가 이런 책을 미리 미리 읽었다면 고등학교때 미적분과 수열에서 그렇게 고생하지 않았을텐데... 그리고 삼촌, 이 개념들은 전공 필수중의 고등수학을 할때에도 큰 도움이 되어요"라며 아쉬워 하더군요.

이런 녀석에서 똑같은 문제를 내봤습니다. 이차방정식의 작도와 ab의 작도를요. 결과는? 당연히 못풀었습니다.

중2 닮음 단원을 공부하면서 닮음의 작도까지 배우는 학생들도 많지 않은 것 같고, 더욱이 이 작도로부터 시작하여 가장 기초적인 식의 작도가 시작될 수 있음을 공부하는 학생은 극히 드문 것 같습니다. 9나 원과 비례식을 공부하면서 이차식의 작도까지 공부하는 학생은 더 드문 것 같습니다. 어려운 닮음 문제도 척척 풀어내면서, 민사수경 단골문제인 원과 비례식의 난해한 문제도 풀어내면서 ab의 길이를 그릴 수 없고, 이차방정식의 근을 작도할 수 없는 아이들의 수학 공부. 어디서부터 잘못된 것일까요? 우리네 교과 과정에서는 왜 이런 교육이 포함되어있지 않은 것일까요? 저도 모르겠습니다.

2. "유클리드의 원론"은 어떤 방법으로 기하를 표현하고 있는가?

유클리드의 원론은 세계에서 성경 다음으로 많이 팔린 책입니다. 총 13권으로 이루어진 이 책의 위대함은 5개의 공리와 5개의 공준, 23개의 정의로부터 시작하여 방대한 양의 기하 이론에 증명이라는 방법을 통해서(이런 형태를 논증기하학이라고 합니다.) 수많은 복잡한 정리들을 이끌어 낸 기하학 입문서입니다. 유클리드 이후 2000년의 시간도 더 흐른 지금도 학생들이 학교에서 배우는 것은 유클리드의 기하학입니다. 이런 베스트셀러중의 베스트셀러인 책임에도 불구하고 처음 접하는 사람이라면 두가지 짜증나는 의문점을 갖게 됩니다. 첫번째는 "뭐 이렇게 당연한 것을 적어놓고 있는거야?"이고 두번째는 "뭐 이렇게 당연한 것을 증명하는거야?"라는 점이죠. 저 역시 처음 접할때는 그랬습니다.

중등 교과 과정은 대수와 기하로 나누어져 있습니다. 물론 2학기 과정에는 1,2,3학년에 걸쳐서 맨 첫단원으로 확률과 통계를 함께 나누어서 다루기는 합니다만, 주는 기하입니다. 왜 교과 과정은 이렇게 구성이 되어 있는 것일까요? 저는 중등 수학 교육 과정 구성의 여러가지 목표중의 하나가 수와 선을 하나로 통합하여 생각할 줄 아는 사고력의 확장이라고 생각합니다. 그래서 고1하에서 해석 기하학의 기초를 다루는 것이라고 생각합니다. 이과라면 공간도형과 벡터까지 이어지게 되는 것이지요.

잠시 이야기가 딴곳으로 흘렀습니다만, 유클리드의 원론은 중등에서 수와 기하의 통합적 사고를 기르는 핵심으로 이르는 길목 곳곳에 기웃거리고 있다고 전 생각합니다. ( 표현이 참 엉망입니다만, 제 능력에서는 이정도 표현밖에는 하지 못하겠네요.) 예를 하나 들어보겠습니다.

중2 함수 단원에서 함수의 그래프 그리기가 나옵니다. 두점의 좌표를 찾아서 이으면 함수 그래프를 그린것으로 인정하게 됩니다. 모두들 고개를 끄덕이고 넘어갑니다. 제 첫째 아이가 수업 시간에 느낀 경험담입니다. 그렇다면 이런식으로 그냥 넘어가도 되는 것일까요?

왜 그렇게 그리면 되지?라는 질문에 대답하는 학생은 많지 않을겁니다. 아마도 대부분이 당연한 것을 왜 묻냐고 반문할 것입니다. 여기서 한발짝 더 나아가서 그렇다면 증명해 봐! 라고 문제를 낸다면 학생들은 어떤 반응을 보일까요?

유클리드의 5개의 공준 중에서 제1공준에 의하면 "한 점에서 다른 한점으로 직선을 그을 수 있다"라고 되어 있습니다. 이 말은 두개의 점을 지나는 직선은 오직 하나만 존재한다와 동치이고, 따라서 함수에서 두 점을 그어서 그래프를 그리는 것은 증명이 필요없는 것이지요. 쉬운 것이지만, 알고나면 더욱 명확하게 개념에 다가설 수 있습니다. 그 개념이란 교과 과정에서 다루는 평면은 오목하거나 볼록하지 않은 평평한 좌표평면, 다시 말해서 유클리드 평면에서의 함수를 다루고 있음을 알게 된다는 점입니다.

또 다른 예는 합동 조건입니다. SSS, SAS, ASA합동은 중1때 배우는 것입니다. 이 부분을 아이들은 당연히 그렇다고 합니다. 어느 참고서에도 이에 대한 이유를 설명하고 있지 않습니다. 유클리드의 원론 제1권에서 이 세개의 합동을 증명하고 있는데 "세개의 각각의 조건을 가진 두 삼각형을 포개어놓으면 완전히 일치한다"라는 식으로 애매하게 증명이 되어 있습니다. 이것을 공리나 공준으로 보아야하는 것인지에 대한 논란도 있으나 한가지 분명한 사실은 "원론"에서는 공리에서 "같은 것은 같다"를 이용하여 분명히 증명을 하고자 했다는 점입니다.

그렇다면 이런 공부들이 중요할가요? 혹자는 수학 문제만 잘 풀면 되지, 저런 공부가 다 무슨 소용이 있냐고 반문할 수도 있습니다. 물론, 틀린말은 아닙니다. 문제 잘 풀어서 대학만 잘가면 되지 저런 공부가 다 무슨 소용이 있겠습니까? 그렇지만 제 생각은 다릅니다. 왜냐하면 제가 생각하는 수학을 공부하는 이유는 대학을 가기 위해서, 문제를 잘 풀기 위해서가 아니고, 수학의 엄밀성이 주는 깊은 탐구 의욕, 완벽한 논리 설립을 통한 설득력 배양을 위해서이기 때문입니다. 결론적으로 말해서 논리 체계에 엄밀성이 요구된다는 사실을 자연스럽게 체득하도록 하는데에 최고의 교육이 수학이라는 말이지요.

여기서 하나의 의문점은 제가 만든 가설에서 "이런 공부를 하면 문제를 잘 못푼다"는 맞는 것일까요? 그렇지 않습니다. 유클리드가 그랬던 것처럼, 너무나도 쉽고 간단한 것부터 시작해서 점점 더 복잡하고 어려운 것들을 증명을 통해서 이끌어내는 능력이 그 어떤 공부보다 배가될 수 있으며, 이를 통해서 문제도 더 잘 풀게 된다는 경험을 갖고 있습니다.

3. 기하는 수능과 아무런 관련이 없는가?

이 부분은 제가 전문가가 아닌 이유로 자세하게 문제를 예로 들어가면서 설명할 수는 없습니다만, 많은 전문가들에 의하면 기하를 잊지 않도록 꾸준히 공부할 것을 권하고 있습니다. 수능 전문가가 아니라서 이런류의 기사들의 내용의 옳고 그름조차 판단할 수 없는 것이 저의 솔직한 실력 수준입니다만, 아무런 이유도 없이 신문에 기사가 소개될 정도로 실력있는 선생님들이 헛소리야 하겠는가? 라는 막연한 믿음은 갖고 있습니다.

기하는 분명 수능의 시험범위에 들어가지 않음에도 기하를 공부하라... 제가 아는 범위내에서 기하는 수능 문제를 풀때에 부분적으로 이용이 되는 것 같습니다. 중학교때 배운 기하이므로 당연히 다 안다고 생각하고 수능에 관련 문제를 출제하는 것으로 전 이해했습니다.

4. 기하는 아이들 교육에 어떤 영향을 미치는가?

위에서 소개한 제 조카녀석은 작도를 통해서 수=선 임을 직관적으로 이해할 수 있었고, 무한이라는 개념을 통해서 수=선 이라는 명제에 대하여 엄밀성을 부여할 수 있었습니다. 그리고 선생님이 꿈이 그 녀석은 나중에 작도를 통해서 이 명제를 이해시키는데에 역량을 쏟고 싶다고 하였습니다. 이런 교육이 만약 이루어질 수 있다면 아이들에게는 큰 도움이 될 가능성이 높으며, 훌륭한 선생님으로서 사회생활을 영위해 나갈 수 있을거라고 생각합니다.

위에서도 말씀드렸듯이, 기하는 아이들의 논리적 사고 배양에 최적의 학문입니다. 또한, 가장 당연해 보이는 것조차도 증명을 하고자하는 습관을 기름으로서 보다 냉철한 상황판단을 할 수 있는 힘을 길러주며, 톱니바퀴가 척척 맞아들어가는 그 아름다운 수학적 흐름을 보고 있노라면 알 수 없는 환희와 기쁨을 맛볼 수 있기에 (그래서 수학은 아름다운 학문이다라고 하나봅니다.) 학문을 하는 즐거움을 느낄 수 있을겁니다.

왕수학의 저자 박명전씨는 그의 저서 "수학아빠는 수학을 가르치지 않는다"에서 "수학을 잘하는 아이치고 공부 못하는 아이를 본적이 없다"라고 하였습니다. 저도 이 말에 동의합니다. 이렇게 되는 이유는 모든 과목을 하나의 일정한 흐름으로 인식하고 이해하려고 노력하는 자세를 길러주기 때문입니다. 그리고 이런 능력은 기하라는 학문의 특성과 맞물려 배로 증가될 수 있다고 생각합니다.

가장 당연해 보이는 것에 "왜?"냐고 물을 수 있고, 가장 쉬운 것부터 시작하여 아주 어려운 것의 이해에까지 도달해가는 스켈러튼을 혼자힘으로 만들 수 있게 해주는 너무나도 아름다운 학문!

이것에 제가 내리는 기하의 정의입니다.

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