방정식과 함수 관련 공부에 대하여 > 중.고등교육 게시판

제 이름이 게시판에 올라와 있어서 좀 놀랬습니다.

사실 쑥쑥에는 엄청난 수학 고수님들이 계신 것으로 알고 있습니다. 하니비님을 비롯하여 할아버지님, 강미선 선생님등등 이루 헤아릴 수 없지요. 그럼에도 저에게 질문을 주셨는데, 사실 제가 답변을 드릴만한 실력은 되지 못합니다. 물론 전문가도 아니구요. 하지만 주신 질문이고, 또 주말이니 비교적 시간 여유가 있기 때문에 질의하신 분야에 대한 제 생각을 말씀드려 보겠습니다. 물론 제 사견이니, 그냥 참고만 하시기를 바랍니다.

중등 수학에서 방정식과 함수는 크게 두가지 분야로 나뉘어지게 됩니다. 일차방정식과 일차함수가 그 첫번째이고, 이차방정식과 이차함수가 그 두번째입니다. 첫번째 분야는 중등 과정에서는 수의 범위가 유리수의 범위에서 공부를 하게 됩니다. 두번째 분야는 무리수, 이른바 루트(물론 루트만 무리수는 아닙니다. 원주율인 파이나 자연로그의 밑인 오일러 상수 e같은 초월수도 무리수입니다만, 중등에서는 루트만 다루기때문에 이 범위에서 말씀을 드리겠습니다.) 라고 하는 수의 범위까지 확장되어서 공부하게 되고, 고등학교에 가면 허수의 범위까지 확대됩니다. 쉽게 말해서, 수의 범위의 확장에 따라서 함수와 방정식의 공부의 범위가 심화되어 가는 형태로 고1까지는 이어지게 되고, 수1부터는 지수함수, 로그함수등으로 더 심화 확장하게 되지요.

이야기가 좀 깊어지게 되었는데요, 이러한 설명을 드리는 이유는 제 답변의 범위를 명확하게 제시하고, 그 범위의 안에서 도서의 추천과 학습법이 이루어짐을 이해시키기 위함입니다. 이점 양지하여 주시기 바랍니다.

제 답변은 유리수의 범위에서 다루는 일차방정식과 일차함수에 국한됨을 먼저 말씀드립니다. 대한민국의 중등 교과 과정에서는 중1,중2에 걸쳐서 일차방정식과 일차함수를 다루고 있으며, 이 두개가 중1, 중2로 나뉘어져 있습니다. 대부분의 관련 도서들은 중1, 중2를 함께 묶어서 설명하고 있으며, 도서를 읽는 것으로 함수와 방정식에 제대로 접근을 하려면 중2까지의 선행이 필수가 된다는 뜻이기도 합니다. 제가 추천드리는 도서는 "수학자가 들려주는 수학이야기" 시리즈에서 몇권과 "이야기로 아주 쉽게 배우는 대수학"이라는 책입니다.

책의 구체적이고 세부적인 추천에 앞서서 학습법부터 먼저 말씀드리고자 합니다. 일차방정식과 일차함수에서 가장 중요한 것은 등식의 의미입니다. 또한 정의에 대한 명확한 지식을 갖추어야만 합니다.

등식의 의미를 가장 알기 쉽게 설명하고 있는 문제집은 다름아닌 초등수학 문제집입니다. 1031이라는 문제집인데, 1031 초급 상의 "저울을 이용하여 풀기"라는 단원이 있습니다. 이 단원을 풀면 정확한 등식의 의미를 알 수 있습니다.

정의에 대한 명확한 지식이라는 것은 모든 용어를 외우는 것을 말합니다. 토씨하나 틀리지 않고 정확하게 외우는 것이 좋습니다. 그래야만 개념을 묻는 문제들을 비교적 수월하게 풀어낼 수 있습니다. 이 개념들은 대부분의 문제집들에 소개되어 있지만, 가장 좋은 것은 교과서에 나와있는 용어에 대한 정의를 외우는 것입니다. 만약 교과서의 범주를 벗어나는 용어에 대한 정의는 해당 문제집에 소개되어 있는대로 외우면 됩니다. 정의는 반드시 외워야 하고, 또 이해해야만 합니다. 이것이 지겹고, 개념을 아는데 왜 정의를 외우냐고 반문하며 아이들이 거부할 수도 있습니다만, "수학은 정의로부터 시작하는 학문"입니다. 이 문장에 대한 의미는 수학 공부의 깊이가 깊어지면 깊어질수록 더 뼈저리게 느끼게 됩니다. 그러니 용어의 정의를 정확하게 외우고, 용어의 정의에 대해서 제대로 알고 있는가를 묻는 문제들에 대해서는 100% 이해를 했는지의 여부도 반드시 확인해야만 합니다. 항, 계수, 차수, 최고차항, 단항식, 다항식, 등식, 이항등등의 일차방정식과 관련된 용어들, 함수, 정의역, 공역, 치역, 절편, 기울기등등의 함수와 관련된 용어들에 대한 정확한 정의를 술술 외우고 있어야 비로소 공부를 시작할 수 있음을 먼저 아이에게 각인시키기 바랍니다. 좀 더 깊은 용어에 대한 이해를 하고자하면 수학사랑이라는 출판사에서 나온 "수학용어 다시보기 (초,중등) 2편"을 보면서 공부하면 용어의 이해에 대한 심화에 큰 도움이 될거라고 생각합니다.

중1과정은 말그대로 문자 사용의 가장 기초와 미지수가 한개인 일차방정식, 방정식의 활용으로 이루어져 있습니다. 이것들은 그 개념이 워낙에 기초적인 것이라서 책에서도 해당 부분을 찾아 읽는 것은 아주 작은 부분이 될 것입니다. 저는 중1의 부분에 국한하여 서적의 부분들을 추천해보도록 하겠습니다.

중1의 문자와 식과 관련된 서적은 수학자 시리즈 32편의 "비에트가 들려주는 식의 계산 이야기"의 1교시~3교시까지 입니다. 4교시부터는 지수로 넘어가는데, 지수는 중2에 나오는 개념이므로, 3교시까지만 여러번 반복해서 읽으면 도움이 될 것입니다. 십진법을 문자로 다루는 내용도 있기 때문에 기수법 이해에도 어느정도 도움이 될 겁니다.

중1의 일차방정식과 관련된 서적은 수학자 시리즈 13편 " 디오판토스의 일차방정식"의 1교시~5교시까지 입니다. 또 일차방정식의 활용은 6,7교시에 나와있으며, 8교시부터는 연립 방정식을 다루기 시작하는데 이것은 중2에 나옵니다.

중1의 일차함수는 수학자 시리즈 30편 "디리클레가 들려주는 함수1 이야기"의 1,2교시입니다. 3교시부터는 중2과정이 나오게 됩니다.

관련서적들은 위와 같구요, "이야기로 아주 쉽게 배우는 대수학"이라는 책은 Chapter1~11에서 중학3년까지의 "가" 과정을 총망라하여 다루고 있습니다. Chapter12부터는 고등학교 과정을 다루기 시작하기 때문에 이 책은 중3까지의 기본까지 선행을 모두 마치고 난 후에 Chapter11까지 읽으면 좋은 책입니다.

정리하자면, 중1과정에 해당하는 책은 소개해드린대로 책의 일부분에 해당될 뿐입니다. 해당 부분을 잘 읽고 나서 중1 심화의 수준을 정하시고, 심화가 끝난후에 중2과정에 나오는 부분들을 더 연결해서 읽으면 될 것 같습니다.

한가지 첨언을 드리자면, 방정식과 함수는 중학 3년동안 공부하는 핵심이고 그 범주가 광범위합니다. 또한 고등 수학의 기초이기 때문에 반드시 잘해야만 합니다. 잘하려면 중등에서 배우는 대수학의 전체적인 흐름을 그릴 수 있어야 합니다. 중1에서는 약수와 배수로부터 시작하여 정수와 유리수로 수의 범위가 초등의 자연수에서 확장됩니다. 그리고 나서 유리수의 범위에서 방정식과 함수를 다룹니다. 중2에서는 순환하는 무한소수로 그 개념이 넓어지면서 무리수를 이해하기 위한 기초개념과 중1때 다루지 않았던 유리수의 마지막 부분을 메꾸고, 지수가 나오게 됩니다. 중2의 방정식과 함수는 이 수의 범위에서 다루어지게 됩니다. 중3에는 무리수가 나오고 인수분해가 나온 후에 이차방정식과 이차함수를 다루게 됩니다. 결론적으로, 중등의 대수는 수의 확장과 맞물려서 대수가 점점 심화되기 때문에 수의확장+방정식과 함수의 개념으로 이해하여야 한다는 것입니다.

제가 드린 첨언을 잘 이해하시고, 그런 연후에 관련 서적들을 읽으면서 공부를 시키시면 조금이나마 도움이 될 것 같습니다. 끝으로 다른 수학 고수분들이 제 조언을 보시고 웃지나 않으실까 걱정됩니다만, 제 개인적인 생각이라는 점에서 넓으신 양해가 있으시기 바랍니다.

답변이 잘 되었으면 좋겠습니다.

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