사고력과 연산 > 중.고등교육 게시판

책에 대한 소개를 하는것이 여전히 두렵습니다만, 연산이기 때문에 부담없이 올려봅니다.

연산과 관련해서 제가 알고 있는 좋은 책을 소개해드리고자 합니다.

우선 책의 제목부터 말씀드리겠습니다. ( 다른 좋은 책이 있으면 저에게도 소개해주시면 좋겠습니다.)

수학 천재들이 만든 수학퍼즐 - 가우스가 만든 머릿셈 ( 자음과 모음 )

초스피드 계산법 - 카기모토 사토시

오늘 금요일임에도 한가하네요. 글을 쓸 수 있다는 것은 역시 행복합니다.

수학에서 연산과 관련하여 많은 시각이 있을줄로 압니다. 연산은 훈련이라고 생각하시는 분들도 많고, 어느정도 훈련이 필요한 것도 사실이라고 생각합니다. 그렇지만, 연산은 훈련이 전부는 아니라는 시각을 전 갖고 있습니다. 연산에는 수학적 원리가 깊이 담겨져 있으며, 사고력이 절대적으로 필요하다고 생각합니다.

위의 두 책에는 이러한 내용들이 잘 나와있습니다. 중2,중3과정에는 문자와 식의 원리를 이용하여 숫자계산을 빠르고 쉽게 하는 과정이 소개되어 있습니다. 그것과 상당히 흡사하지만, 교과서보다 훨씬 심도있게 다루고 있습니다. 이 원리들을 굳이 아이들에게 100% 이해하도록 할 필요는 없습니다. 그냥 이렇게 되는 것이구나 정도만 알고 있어도 됩니다. 두 책에 나와있는 재미있는 몇가지 계산에 대해서 소개해볼까 합니다.

문제1

113+256+387+244

맨처음 아이들이 이 문제를 푸는것을 보았습니다. 아이들은 앞에서부터 순서대로 더해가는 것을 알 수 있었습니다. 위의 문제는 첫번째 수와 세번째 수를 더하면 500이 되는 것을 알 수 있습니다. 아이들은 이 과정에서 교환법칙이 뭔지는 몰라도 그 원리를 감각적으로 익히게 됩니다. 물론 위의것을 계산하면 1000입니다. 이런 계산과 관련된 많은 내용들이 가우스의 머릿셈에 담겨져 있습니다.

문제2

29*8

이런 문제를 우리 아이들이 맨처음에 푸는것을 보면 세로로 두 수를 세워놓고 곱하는 전형적인 곱하기 방식을 사용했었습니다. 이 계산은 30*8 - 8로 변형해서 푸는것이 더 빠릅니다. 이 계산의 과정을 이해시키려면 곱하기의 정확한 정의를 알아야 합니다.우선 곱하기는 더하기를 여러번 하는 것을 의미하는 것이 기호의 정의입니다. 29 곱하기 8은 다른말로 하면 8을 29번 더했다는 뜻입니다. 그래서 30번을 더하면 다시 한번을 빼줘야 하는 것이죠. 이렇게 설명해주면 이해 못하는 아이는 없을거라고 생각합니다. 이 계산법을 하면서 아이들은 곱하기와 더하기의 정의를 몸소 체득하게 됩니다.

문제3

37*43

이 문제는 아이들이 이해를 잘 못합니다. 그렇지만, 요령을 가르쳐주면 나중에는 잘 사용합니다. 왜 이렇게 되는지의 원리는 몰라도 됩니다. 나중에 문자와 식에서 유명한 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 이라는 식을 이용해서 하는 계산입니다. 문자와 식을 공부하기 전에 이런 연산에 대한 감각들을 몸에 익혀두면 계산도 쉽고 빠르게 할 수 있죠. 저는 아이들이 중2 과정을 공부하기전에 이내용을 책에서 보여줬습니다. 먼저하나 나중에 하나 어차피 마찬가지 아닐가하는 생각도 듭니다만, 중2과정에서 배우기 전까지 지루한 연산과의 싸움에서 큰 무기가 될 수 있습니다. 다시말해서 수학적 흥미를 높이는데에 큰 효과가 있다는 말이죠. 이렇게 익혀두고 나면 나중에 문자와 식을 공부할때에 그 이해도가 더 높아지더라는 경험을 아이를 통해서 얻었습니다. 아~ 이게 그거구나~~ 라는 감탄사를 아이의 입을 통해서 얻을 수 있을 겁니다.

이 계산을 하는데에 수열의 개념이 약간 필요합니다. 두 수의 중간수를 알아야하기 때문이죠. 1031에 나와있는 연속수의 계산이나 초등 교과서에 나오는 규칙과 함수에서 수열의 개념을 안다면 중간수는 계산하지 않고도 쉽게 알 수 있습니다. 이것이 변형된 형태가 초스피드 계산법에는 동전계산이라는 제목으로 나와있는데 아주 유용합니다. 저도 암산을 할 경우가 많은데 이 방법을 많이 사용합니다. 다음은 그 예입니다.

37*45 = 37*43 + 37*2

이런식으로 변형이 됩니다. 알고 있으면 어른들도 실생활에서 유용하게 사용할 수 있죠.

문제4

62의 제곱

이 문제는 초스피드 계산법에 나와있는 내용입니다. 제곱수의 연산을 쉽게 하는 방법인데, 그 내용이 문자와 식의 변환이 제법 복잡합니다. 그렇지만 원리를 몰라도 괜찮습니다. 나중에 문자와 식을 배울때가 되면 문제3에 약간의 변형만 가하면 된다는 것을 자연히 알게 됩니다.

62*62 = 60*64 + 2^2

이렇게 풀면 됩니다. 첫번째 62가 60으로 2가 축소가 되면, 두번째 62는 64로 2를 증가시킵니다. 그래서 곱한 후에 증가시킨 숫자의 제곱을 더해주면 됩니다. 조금 복잡하니 하나 더 해보겠습니다.

73*73 = 70*76 + 9

이처럼 연산에도 사고력이 있습니다. 어떻게 하면 더 쉽고 빠르게 계산할 수 있을가를 고민하는 과정이 아이들에게 그래서 더 필요하다고 생각합니다. 이런 사고의 과정이 쌓이고 쌓이다보면 자신만의 계산법을 만들어 낼 수 있습니다. 이것을 이용하여 여러가지 변형을 아이힘으로 만들어 볼 수 있는데, 이게 특이한 것이 아니고 사실은 누구나 생각하면 당연한 것입니다. 문제는 그 생각을 하지 않는다는 것이죠.

이 이외에도 많은 연산과 관련된 좋은 내용들이 두 책에 담겨져 있습니다. 저는 이런식으로 책을 통해서 아이들이 연산에서도 급격하게 빠른 성장을 보이는 것을 보았습니다. 약수와 배수를 깊게 공부하고 나면 소인수분해를 이용하여 연산을 하기도 합니다. 12*35를 계산한다고 하면 두 수 사이에 2나 5가 있는지를 먼저 연구합니다. 1031고급이나 디딤돌3%2과정, 초5 왕수학 응용에 설명되어있는 배수판별법을 이용하면 그렇게 어려운 내용은 아닙니다. 12에도 2가 곱해져있고, 35에도 5가 곱해져 있습니다. 2곱하기 5는 10입니다. 그럼 숫자가 줄어듭니다. 12*35 = 2*6*5*7 이고, 여기서 교환법칙의 개념을 이용하여 2와 5를 먼저 곱하고, 연산을 합니다. 그럼 답은 420이 나오게 되죠.

약수와 배수뿐만이 아니라 분수의 연산이나 문자의 연산에서도 이런 사고의 과정은 분명 도움이 많이 됩니다. 실제로 우리 아이들은 이렇게 계산합니다.

연산에는 훈련도 필요하지만, 사고력이 더해지면 그 효과가 배가됨을 알 수 있습니다. 이런 연산의 사고력을 키우는데에 두 책이 도움이 많이 될 것 같습니다. 어른들이 보기에는 너무나도 쉽고 당연한 계산법이지만 아이들에게는 신기하고 재미있는 연산이 될 수도 있는 것입니다. 구구단과 사칙연산의 뜻만 알면 쉽게 할 수 있지요. 연산은 수학의 기초인지라 매우 중요하고 연습도 필요합니다. 그렇지만 이렇게 책을 이용하면 지루하고 힘든 연산에서도 재미를 느낄 수 있지 않을가 생각합니다.

어려운 문제집을 푸는 것이 좋다 나쁘다에 대해서는 논란의 여지가 많습니다. 아이 능력에 따라서 다르고, 수학을 바라보는 시각에 따라서 달라질 수 있습니다. 가장 중요한 것은 어려운 문제집을 풀고나면 그 문제집에 나와있는 내용을 어떻게 잘 응용해서 도움이 될 수 있도록 연결시켜주는가가 중요한 것이 아닐가 생각합니다. 도형의 겟수세기같은 사고력 문제집에서도 어려운 단원이 있습니다. 사실 이 단원은 너무 노가다같아서 필요없을 수도 있습니다. 저는 이것도 필요하다고 생각합니다. 중2과정에 닮음에 대해서 공부하는데, 도형을 이리 돌리고 저리돌려보는 감각이 뛰어나면 닮음도 잘할 확률이 높습니다. 칠교나 도형의 겟수세기같은 것은 도형을 돌리는 감각을 키우는데에 도움이 되며, 현 교과 과정에서는 합동이나 닮음같은 단원에서 도형의 회전이 필요할때 유용하게 사용됩니다. 그래서 저는 사고력의 정확한 정의를 내릴 실력은 못되지만, 흔히들 말하는 사고력 관련 문제집들이 교과 과정에서 어떻게 응용하고 사용하느냐에 따라서 상당히 유용할 수 있다고 생각합니다.

끝으로 가우스 머릿셈은 초등 고학년~중1까지 재미삼아 보면 될 것 같구요, 초스피드 계산법은 중1~어른까지 사용해도 좋을 것 같습니다. 저도 짜투리 시간에 재미삼아 보고 또 보고 합니다. 부모님들도 이 책의 계산법을 이용하시면 실생활에서도 많은 도움이 될 것 같습니다.

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