수학이 늦은 초,중,고등학생을 위하여... > 중.고등교육 게시판

2755 라파엘라님...수학과 정말 한판 승부를 벌이시고 계시네요.

영어가 늦은 애들에 관한 글은 있는데,왜 수학은 없냐구요?

공부의 달인,공부의 왕도라는 EBS프로그램을 시청하면서 늦게 가는 애들에게 관심을 갖게 되었습니다.초,중시절 운동이나 게임,집안환경등으로 공부를 포기했다가 공부에 큰 성취를 이룬 고등학생과 대학입학생들의 이야기죠.어려서 공부 못 하면 끝장이라고 하는 세상,1등만 알아주는 드러운 세상...꼴등도 1등이 될 수 있다는 겁니다.물론 1등이 꼴등도 되죠.

본론으로 들어가서...

6학년인데,5학년 수학을 시키시고 계시다니 그래도 참 많이 마음을 비우신 겁니다.

그러나 조금만 더 마음을 비우시고 4학년부터 차근차근 해 보시면 어떨까요?

아마 빠른 속도로 복습이 진행 되며 4,5학년 고난이도 문제도 해결능력이 생길 겁니다.

우리는 제 학년에 해결해야 하는 고난이도 문제들을 미해결 된 상태로 선행을 나갑니다.

여러가지 악순환이 반복됩니다.

물론 저도 우리 아이들 선행은 마음 뿌듯하고 가슴 벅차며 대단해 보이지만 복습은 절대절대 싫어합니다.

그러나 가장 실속있는 공부는 복습이라는 생각이 듭니다.시간이 절약됩니다.가장 큰 장점이죠.

선행하려면 수학은 시간을 잡아먹는 하마입니다.초5,6 수학부터 그렇습니다.

저도 방학중에는 선행을 시키지만 학기중에는 철저한 복습과 제 학년 공부만 합니다.

이 과정을 겪으며 얼마나 아이의 수학에 문제점이 많은지...

그리고 정말 이해할 수 없는 재미난(?) 현상들을 경험 합니다.

수능외국어 영어 만점 받는 중3은 있을 수 있지만,수리영역 만점은 불가능합니다.

멀리 보고 가세요.

수학이 늦은 아이가 영어 늦은 아이들 보다 극복하기에는 시간이 몇배로 든다는 것은 명심하셔야 합니다.

영어와 기타과목은 잘하고 있으니 수학에 올인하세요.아마 영어를 잃을 수도 있지만 그정도면 회복됩니다.

올인 하면 확실히 느는 것은 분명합니다.

아마 선행이 아닌 복습을 시키면 그다지 힘들어 하지 않을 겁니다.

가장 명심할 일은 복습에 중점을 두고,공부해야 합니다.

3월 고1 모의고사 예상 등급컷(추정치,물론 지금은 성적표가 나와서 확실하지만)제가 알고 있는 추정치 등급컷이 언어91 외국어영역 95 수리 85 입니다.수리 85라도 표준점수를 생각하면..

가장 실속있는 과목이 수리영역입니다.그리고 명문대의 경우 수리 가중치가 있기도 합니다.

올해 3월 고1 수리영역 문제를 살펴보니 중학교 기본개념만으로도 충분히 풀 수 있는 문제들이었습니다.

응용문제도 사고력의 문제이지 결코 복잡한 고난이도 문제가 아니더군요.

수학을 생각없이 기계적으로 누가 시켜서 풀었던 아이들 즉 생각하는 힘이 없는 애들은 틀리는데 나중에 오답하면서 이문제는 몰라서 틀린 것이 아니고 실수라고 우깁니다.^^우리는 실수라는 말에 참으로 많은 위안을 받지만,수학에 실수란 없다는 생각입니다.개념은 알지만 충분한 연습부족...

예비 고등학생들 중 10-가,나 는 물론 수1,심지어 수2 까지 선행을 반복한 학생들의 모의고사 수리성적은 과연? 참고로 보통 고등학교 고1모의고사 수리영역 평균은 30점대 입니다..1등급 컷은 85점대...90넘지 않습니다.위의 선행을 했던 가까운 아이가 수리성적 1등급 간당간당해서 울고 불고 난리났는데,KME 금상이라고 축하했던 기억이.ㅠ 우리 큰애의 경우 민사수학경시의 범위가 9-나까지 여서 중등시절 고등선행을 하지 못했죠.대신 제 학년의 심화를 깊이 했는데,이것이 고등수학을 쉽게 이끌어 주었습니다.보통 애들 우리 둘째도 10-가,나 수학의 정석 3번 반복하는데,큰애는 한번씩만 했습니다.물론 작은애는 3번 반복했지만 중등과정 복습을 하며 많은 구멍을 발견해 냈습니다.큰애의 경우 물론 중등경시에서는 큰힘을 발휘하지 못했지만 ,고등학교 가면서 일반고생이었지만 과학고생들 보다 경시에서 큰 위력을 발휘했습니다.수시에 큰 도움이 되었죠.

우리 애들도 수학 정말 열심히 했는데,대학간 큰애나 중3 작은 애 모두 가장 역점을 두는 공부는 수학입니다.

큰애는 대학가서 지독하게 했던 수학의 보답을 여러가지로 받고 있습니다.

어려서 정말 수학 때문에 많이 힘들었습니다.그러나 노력하면 안 될 것이 없더군요.

수학 때문에 힘들다는 글을 모 사이트에 구구절절 올린 기억도 납니다.초5, 1학기였네요.

초3때는 수학경시 학교대표도 아니고 학급대표도 떨어져 밥맛이 똑 떨어졌던 기억도 납니다.

그때 아이는 초4 수학 선행이 끝나가고 있었습니다.그땐 정~말 믿을 수 없었는데,지금은 너무나 이해가 가요.

초4 선행해도,초3 문제 완벽히 풀어낼 수 없었던 겁니다.수학은 아는 것이 중요한 것이 아니고 풀이과정과 답이 한치의 오차도 없이 정확해야 합니다.요즘도 둘째 수학시키면 엄청 소리를 버럭버럭 질러댑니다.

다음은 카이스트에 진학한 학생의 수학공부 이야기입니다.

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0. 들어가기 전에...

저는 고2 때부터 내신 전교1등을 놓치지 않았고, 모의고사부터 쭉 1등급을 찍어 왔습니다.

특히 수리영역은(가형입니다) 어느정도 궤도에 오른 후에는 문제가 쉬우나 어려우나 만점을 찍었습니다.

참고로 제가 진학한 학교는 KAIST입니다.

그리고 현재 멘토링 프로그램, 비전제시, 목표설정, 시간관리와 플래닝 등에 관한 강의 및 훈련을 하고 있습니다.

그 부분에 있어서 상당히 인정받고 있으며, 입소문이 나서 학생들이 계속해서 늘어나고 있는 상황입니다.

자랑하고자 함은 아닙니다. 여러분들을 현실에서 저를 알지도 못하며, 여러분이 저를 어떻게 보든지

제게 득이 될 것은 없습니다.

이 글에서는 개인적인 경험담과 구체적인 학습법을 다루게 될 것입니다. 수리영역을 중심으로 말씀드리겠지만,

결코 수리영역에 국한된 내용은 아닙니다. 아무쪼록 도움되시기를 소망합니다.

1. 무엇이 문제였는가?

고등학생 시절. 저는 매우 성실하게 공부하던 학생이었습니다.

저는 고등학교 3년동안 '단 하나의 수업도 잔 적이 없는' 학생입니다.

저는 학원을 다니지 않았고, 인터넷 강의로 공부를 하였으나, 그것도 개념정립 강의 정도에만

국한되어 있었습니다. 그리고 결코 내신 공부를 등한시하지 않았습니다.

수리영역을 제외한 다른 영역에서는 문제가 없었으나, 유독 수리만은 투자한 것에 비해 성적이

나오지 않았습니다.

저는 수학 문제집을 많이 풀었습니다. 그리고 스스로 개념에 관해서도 남들 못지 않게 알게 있다고 자신했습니다.

그런데 고2 여름방학까지 수리영역 점수는 2~3등급에서 정체되어 있었습니다.

왜일까, 왜일까.

스스로 고민도 많이 했고, 수 많은 서적들을 읽으면서, 또한 인생의 멘토분들께

여러가지 조언을 받아가면서 많은 것들을 깨닫기 시작했습니다. 그 이야기를 나누고자 합니다.

여기에 적는 내용은 단순히 수리영역에 국한된 이야기만은 아닙니다.

모든 학습법에 적용될 수 있는 부분이며, 심지어 여러분의 인생 전반에 걸쳐서 매우 중요한

이야기가 될 수도 있다고 자신합니다.

2. 문제를 발견하다.

문제는 우선 제가 중학교 시절 공부를 열심히 하지 않았다는 것에 있었습니다.

중학교 시절, 저는 컴퓨터 중독이었고, 판타지/무협 소설로만 시간을 보내던 학생이었습니다.

다른 과목도 물론이며, 수학 점수도 늘 절망이었습니다.

그런 제가 고등학교로 진학했을 때, 중학교 수학에 관한 개념들이 머릿속에 남아있을리가 없었지요.

고등학교로 진학한 후, 제 삶은 완전히 바뀌기 시작했습니다. 낭비와 허비의 삶이 아니라, 위대한 목표를

품고 살아가기 시작했습니다(지금도 자신있게 그렇게 살고 있다고 말할 수 있습니다). 이에 관한 부분은

이 글의 중심 내용이 아니므로 넘어가겠습니다.

어쨋든 열심히 공부하기 시작했다는 것이지요. 늘 성실한 태도와 열정으로 공부를 했습니다. 당연히 성적은

올랐지요. 다만! 수학만은 오르지 않았습니다.

그 이유는 다음과 같습니다.

★ 1) 수학은 '벽돌쌓기' 학문입니다.

초등학교 1학년 교과 과정부터 고3 미적분까지 모든 내용이 연결된다는 사실을 아십니까?

너무 멀리 갈 필요도 없이 7-가/나, 8-가/나, 9-가/나의 내용만 살펴보세요. 왠지 친근한

내용일 것입니다.

빠진 개념이 있어서 성적이 오르지 않았다는 부분은 중학교 때부터 수학을 잘해온 사람들은 잘 느끼지 못하는 부분입니다.

왜냐하면 '개념이 빠져있는 부분'이 거의 없었기 때문입니다. 하지만 저처럼 공부를 안하다가 다시

시작한 학생들의 경우에는 분명히 빠진 개념들이 있습니다. 즉, 빠진 벽돌이 있다는 것이지요.

방정식이란 무엇인가?

함수란 무엇인가?

저 같은 경우는 이 대답을 정확하게 할 수 없었습니다. 그러나 방정식 문제가 나오면 x값을 찾아내 풀 수는 있었지요.

그러나 거기까지가 한계였던 것입니다. 수학은 철저하게 예전의 기초 위에 새로운 것이 쌓여지는 학문입니다.

대학과정에서 공부해보신 분들은 이것을 뼈저리게 느낄 것입니다. 그 기초가 튼튼하지 않은 상태에서 무조건 양치기를

해봤자, 성적이 오르는 것에는 한계가 있다는 것입니다. 마치 저처럼, 3등급(잘나오면 2등급 겨우 걸치는)에서 멈춰

있을 수 있다는 것이지요.

제가 고2 여름방학 때 했던 것이 무엇인줄 아십니까? 저는 하루 12시간씩 공부했는데(4시간 공부/1시간휴식 <- 3번 반복)

중1 교과서부터 다시 봤습니다. 기본 문제만 풀면서 개념을 확실히 정립하고 정의를 외웠습니다.

스스로가 부끄럽지 않았습니다. 내가 모른다는 것을 분명히 깨달았기 때문입니다.

그런식으로 중2, 중3, 10-가/나, 수I, 수II, 미적을 개념정립을 완벽하게 했습니다.

A4용지에 스스로 개념정립을 하며 아예 하나의 책을 만들었습니다. 다 합쳐서 200페이지는 될 것입니다.

그것은 저만의 교과서가 되었지요.

그 후로 가능하면 매일, 적어도 일주일에 두 번 이상은 중1부터 미적까지 개념을 쭉 훝어보며 복습했습니다.

'다시 공부'했다는 것이 아닙니다. '잊지 않기 위해 지속적으로 훝어본 것'이었습니다.

1시간이면 중1부터 미적까지 다 복습이 가능합니다. 이 복습을 수 백 번은 반복한 것 같습니다.

그럼 어떻게 되는 줄 아십니까?

머리 속에서 슬라이드 쇼가 만들어집니다.

중1 교과서의 모든 단원명을(다 외웠습니다) 먼저 머리 속에서 빔을 쏘면, 그 단원에 어떤 내용이 있는지,

중요한 내용은 무엇인지를 다 적어나갈 수 있습니다. 그것이 미적까지 다 가능합니다.

이게 얼마나 큰 쾌감이 있냐면, 마치 우주에서 지구를 바라볼 때 느끼는 아름다움과 경의로움이랄까요?

수학이라는 학문 자체의 커다란 흐름을 아예 느끼게 됩니다. 마치 그 학문을 내가 위에서 내려다보는 듯한

느낌이 됩니다. 그러면 그것이 완전히 나의 것인 겁니다.

그 후로는 이제 양치기를 들어갔지요. 성적이 놀라울 정도로 쑥쑥 오릅니다.

문제를 보면 어떤 것이 떠오르냐면, 이것은 A단원(혹은 영역)의 (a), (b)내용과 B의 (a)내용을 섞어 만든 문제이다, 라는 것이

눈에 확 보입니다. 그리고 출제자가 어떤 것을 묻고 있는지 너무나도 분명하게 해석이 됩니다.

한 문제 한 문제를 풀어도 이런 식으로 풀기 시작하니까, 그 문제를 완전히 정복하게 되는 것이지요.

그리고... '난이도에 관계없이 수리가형 100점'이 어떻게 가능하게 되었는지 말씀드리겠습니다.

일단 2점짜리 문제는 거의 보자 마자 풀이 과정이 자동으로 나오는 정도입니다. 계산만 딱딱, 하면 바로 답이지요.

3점짜리 문제 정도도 잘 보입니다. 이 정도도 거의 문제 없으시리라 봅니다. 그리고 이 정도 실력이 쌓이면 흔히 말하는

'문제 속에서 헤메는'일이 없습니다. 너무나 분명하게 어떤 식으로 풀어야 할지 이해하고 있기 때문이지요.

문제는 4점짜리 문제이지요. 정말 어이없어 보이는 문제들이 많습니다. 하지만 사실 수리영역의 문제는 어디에서 출제가

됩니까? 바로 우리가 배운 곳 안에서입니다. '아무리 발버둥쳐도' 배운 곳 안에서 나오게 됩니다. 너무나 당연한 말이지요.

자, 그럼 문제를 봅시다. 대충 A에 관한 내용임을 눈치 챕니다. 그렇다면? 수 백번 반복해서 완전히 익혀진 개념들을

머리 속에서 스캔해봅니다. A라는 단원, 혹은 영역에 있는 모든 내용을 나는 완전하게 알고 있으므로,

'이것이 A의 b)에 관한 것을 묻고 있는 문제구나'하는 것을 발견하게 됩니다. 그러면 끝입니다.

출제자가 어떤 단원의 어떤 개념을 알고 있는지를 확인하는 문제이구나! 라는 것을 발견하면 답을 찾게 됩니다.

'어떤 것을 묻고 있는지' 알기 때문입니다.

더 어려운 문제는 사실 더 헷갈립니다. A에 관한 내용인 것 같긴 한데, 정확히 어떤 것인지 보이지 않을 때가 있습니다.

그러면 스캔해봅니다. A단원에서 물을 수 있는 개념은 a), b), c), d)가 있다는 것을 이미 정립하고 있습니다.

그 외에는 나올 수가 없습니다. 왜냐! 교과과정 밖의 것이기 때문입니다. 그럼 한 번 맞춰보면 됩니다.

a)인가? b)인가? c)인가? 혹은 a)와 b)를 같이 묻는 것인가?

여기에 한 가지 A에 관련된 내용만 있는 것이 아니라, A-c), B-a)이런 식으로 혼합해서 나오는 경우도 참 많습니다.

그러나 이런 것들도 내 머리 속에 완전히 개념을 파악하고 있기에 결국은 잡아낼 수 있게 됩니다.

그러면 모든 문제를 다 풀 수 있게 됩니다. 정말입니다. 교과 과정 내에서 나오는 문제를 못푸는 경우는 없습니다.

★ 2) 양치기도 제대로 쳐라.

그러나 주의하실 점은, '감각' 있어야 한다는 점입니다.

한 학생이 집합 단원을 저와 동일한 수준으로 완벽하게 이해했다고 칩시다.

그런데 그 학생이 풀지 못하는 문제를 저는 풉니다. 왜냐하면 수 많은 문제를 풀면서 익혀진 '수학적인 감각'이 있기 때문입니다.

이것은 또 단순한 개념 정립과는 다른 문제입니다. 양치기 역시도 절대 등한시 할 수 없는 부분임을 명심하시기 바랍니다.

한 가지 팁은 위에서도 잠깐 언급하였지만 문제 하나 하나를 풀어도 그 문제에서 얻어갈 수 있는 최대한을 얻어가라는 것입니다.

문제를 푸는 이유가 무엇입니까? 실력을 쌓기 위함이지요.

그런데 정말 대부분 학생이 문제를 푸는 이유가 문제를 풀기 위해서입니다. 어느새 '문제를 많이 푸는 것'이 목적이 되어버리고 그것을 이루기 위해

문제를 많이 푸는 것이지요. '실력을 쌓기 위해'서가 아니란 말입니다. 애초에 목적이 바르다고 해도, 나도 모르게 순간 변질되어 있을 수가 있다는

것입니다.

이것은 말장난이 아닙니다. 학점을 위해 영어공부를 하는 사람은 학점에 들어가지 않으면 그다지 열심히 하지 않습니다.

그러나 진짜 '영어를 구사하기 위해' 영어를 배우는 사람은 학점과 관계되지 않은 곳에서도 영어를 공부합니다. 수능이라는 것이

없어도 말입니다.

정말 하고 싶은 말은 이것입니다. '문제집 10권 풀었다'라는 식으로 자랑하기 위해서라면 도대체 무슨 소용이 있습니까?

스스로 뿌듯함을 가지기 위함이라면 무슨 소용입니까? 문제집 1권의 한 문제 한 문제를 정말 나의 것으로 만들어가면서 푼 사람이

어쩌면 더 깊게 알 수 있을지도 모릅니다.

나는 정석 5번 돌렸다. 근데 그 아이에게 정석 내용을 물어보면 다 대답하지 못합니다. 까먹었기 때문이지요. 이게 도대체 뭡니까?

2점짜리 문제도 가볍게 보지 마시고 가능한 한 깊게 들여다보세요.

'이 문제는 A단원의 (b) 개념을 알고 있는지를 묻는 문제이구나.'

'그렇다면 대충 이 문제를 푸는 방법은 대표적으로 I, II, III 3가지가 되는구나. 근데 약간 편법으로 더 쉽게 풀 수 있는 IV 방법도 하나 있지.'

'하지만 그 중 가장 효율적이고 정확한 방법은 II야. 앞으로도 A단원의 (b)개념에 관한 문제가 나오면 II방법을 바로 적용하는게 좋겠구나.'

이런식으로 한 문제 속에서도 수 많은 생각을 할 수 있고, 그 한 문제를 통해 또 한 번의 복습을 할 수도 있습니다.

주어진 것은 같다고 하더라도, 그 안에서 엄청난 것들을 뽑아내고 깨닫는 사람이 있는 반면에, '수학 문제집 한 권 더 다 풀었다!' 하고 만족하면서

다른 문제집 찾는 사람이 있습니다. 실력은 거의 오르지 않지요.

뭐든지 쉽게 하려고 하면 얻는 것이 적기 마련입니다. 이것은 삶의 진리입니다. 사랑조차도 고통없이 얻어진다면 사라지기도 매우 쉽습니다.

어떤 것이든지 '저항'이 있어야 그 저항을 뚫어내려고 힘을 가하는 사이에 근육이 자라나게 됩니다. 힘들지요. 팔굽혀펴기도 내 체중을 들어올리기에

힘이 들고, 또한 근육이 자라는 것이지... 가만히 서서 팔을 앞으로 뻗는 동작으로는 근육에 거의 자극이 가지 않습니다.

한 권의 문제집에서 70~80%는 거의 아는 문제인 경우가 대부분이지요(실력에 따라 차이납니다만). 그렇다면 그저 문제 하나를 풀었다는 성취감,

같은 문제를 여러 번 풀어봤다는 자신감의 증가, 조금 애매했던 문제를 또 풀어봄으로 인하여 더 잘 알게 됨, 그리고 나머지 20~30%의 어려운 문제를 힘들게풀어보면서

늘어나는 실력 정도입니다.

하지만 제가 권하는 방법은, 가능한 한 자신을 더 어려운 곳으로 던지라는 것입니다. 쉬운 문제에서도 내가 뽑아낼 수 있는 것을 모든지 뽑아내면서,

그것과 관련된 개념을 완전하게 다시 생각해보면서, 여러가지 풀어법도 생각해보면서, 이 풀이법이 저 풀이법보다 효율적인 이유를 생각해보면서,

출제가가 이 문제를 왜 냈을지도 생각해보면서... 최대한 많은 것을 얻으시라는 겁니다.

★ 3) 너 자신을 알라!

소크라테스의 '너 자신을 알라!'라는 말은 정말 명언입니다. 그리고 수리영역을 떠나서 여러분이 무엇인가를 배우고자

하는 사람이라면 반드시 명심해야 하는 말입니다. 무엇이냐면,

내가 모른다는 사실에 대한 자각이 없으면 배울 수 없다라는 것입니다.

교만한 사람에게는 답이 없습니다. 겸손한 사람은 늘 배웁니다. 저 사람이 나보다 레벨이 낮아보여도 그 사람에게는

나보다 뛰어난 점이 분명히 있습니다. 하지만 '나는 저 사람보다 낫다. 저 사람에게 배울 것이 없다'라고 생각하면

절대 그 사람으로부터 배우지 못합니다.

'나는 이 부분에 대해서는 분명히 안다'라고 자신하는 사람은 그 부분에 대해서는 이제 더 이상 남들에게 배우지

못하는 것입니다. 어른들을 존경하십시오. 이 험하고 힘든 세상에서 그 오랜 기간동안 살아오시면서, 그 분들은

여러분이 알지 못하는 어떠한 것들을 분명히 깨닫고 계신 분들입니다.

가장 무서운 사람이 누구인줄 아십니까? 책 한 권 읽고 다 아는 것처럼 말하는 사람입니다.

솔직히 똑똑하다는 사람치고 머리에 똥만 찬 사람이 많습니다. 많이 알지요. 말도 맞지요. 그러나 진짜 아는 것이 아닙니다.

왜냐면- 그것을 내 삶에서 행동으로 옮겨본 적이 없고, 그저 책이나 들은 지식으로만 아는 경우이기 때문입니다.

<성공하는 사람들의 7가지 습관> 책은 아주 유명한 스테디셀러입니다. 그런데 그 책을 읽은 사람들이 다 성공합니까?

심지어 그 책을 완전히 외우고 있는 사람이라고 해서 성공합니까? 그 책의 내용을 남들에게 전해주고 있다고 해서 성공합니까?

이 부분에 관해 너무 다루는 것은 주제와 벗어나므로 이까지만 하겠습니다.

말씀드리고자 하는 것은 이것입니다.

정말 개념은 다 아십니까?

스스로를 시험하는 방법을 가르쳐드리겠습니다. 저는 늘 이런식으로 공부했습니다.

A4용지, 혹은 백지를 준비하세요. 수I에 대해 내가 진짜 어느정도 아는지 궁굼하시다면 가장 위에 수I이라고 적고,

'어떠한 책도 보지 말고' 자신이 수I에 관하여 아는 모든 것들을 적어보세요. 단원명부터 시작해서 모든 공식들, 공식이 나온 이유들,

이 개념과 연결되는 개념, 이것을 사용하는 이유, 이 단어의 정의, 이 개념의 정의 등등...

Tree구조로(이 단어가 어려우시다면 마인드맵 방식을 생각하시면 됩니다) 적어보시는 겁니다.

여러분이 적으시는 그 만큼! 정확히 그 까지! 그것이 여러분이 수I의 개념에 대해 알고 있는 정도입니다.

정말 쉽다고 생각하지만 모르는 사람들이 많습니다.

유리수란 무엇인가? 방정식이란 무엇인가? 함수란 무엇인가? 연립방정식은 무엇인가? 어떤 식으로 풀어야 하는가?

설령 여러분이 다 적으셨다고 해도, 더 살펴보세요. 꼬리에 꼬리를 물고 늘어져보세요.

'잠깐, 이 용어의 뜻이 정확히 뭐지?' '이거는 왜 사용하는거지?'

늘 '?'를 붙여보세요. 그리고 찾아보세요. 그리고 분명히 나의 것으로 만드세요.

<수학체계표>라는 것이 있습니다. 교육부 홈페이지 뒤적거리시다보면 발견하실 수 있으실겁니다.

초1부터 고3까지 수학 교과과정의 모든 단원명과 소단원명이 나와있습니다.

저는 문제집을 풀다가 틀리면 그 틀린 문제의 내용에 해당하는 모든 단원에 빨간색 펜으로 체크를 해둡니다.

문제지, 모의고사 등을 풀다보면 분명히 체크가 많이 된 단원이 있습니다. 내가 거기를 분명하게 모르는 것입니다.

그러면 그 단원의 개념을 더 완벽히 익힙니다. 한 단어도, 한 정의도 모르는 것이 없을 정도로 익힙니다.

도대체 왜지? 내가 무엇을 몰라서 틀린거지? 이 부분은 정확히 안다고

생각했는데? 내가 빠뜨린 부분이 있나? 내가 좀 더 정확하게 알지 못했던 부분이 있는 것인가?

그리고 기본적은 문제들과 그 단원의 심화문제들을 풀어봅니다.

여러분 실력에 따라 하시면 됩니다. 솔직히 아주 수학을 모르는 학생들은 초등학교 4, 5학년의 개념도 정확히

알고 있지 못합니다. 어릴 때부터 수학을 싫어하셨던 분이라면, 분명합니다. 서점에 가서 초등학교 관련

참고서를 하나 사셔서 한 번 보세요. 무의식적으로 대충 풀 수는 있을지 모르겠지만, 정확하게 '이것은 이거다!'

혹은 남들에게 그 내용을 분명하게 가르칠 수 있을 정도가 아닐 것입니다.

부끄러워하지마세요. 공부는 남들과의 싸움이 아니라, 나와의 싸움입니다.

솔직히 남들 앞에서 초등학교, 중학교 참고서 보고 있는거 부끄럽습니다.

그러나 내가 그 부분을 정확히 모르는데도 아는 척하고 남들의 시선을 두려워한다면,

그것은 자기 자신에게 더욱 부끄럽고 비겁한 것입니다.

3. 그 외의 조언

★ 1) 복습에 관하여

복습에는 2가지가 있습니다.

1. 잊어버린 후 다시 공부하는 것
2. 분명하게 배우고 알고 있는 것을 '잊지 않기 위하여' 다시 보는 것 -> 기억을 튕겨주는 것!

1번을 복습으로 생각하시고 그렇게 하고 계신다면 완전 시간을 날리시고 계시는 것입니다.

2번이 포인트입니다.

여러분이 오늘 100을 배웠습니다. 내일 몇이 남는 줄 아십니까? 통계적으로 7이 남습니다.

여러분이 1시간쯤 공부하고 그 책을 덮기 전에 2분 정도만 공부한 내용을 훝어보면 내일 28이 남습니다.

고작 2분 투자해서 4배가 증가했습니다.

마지막 공부시간 1시간 정도를 투자해서 오늘 배운 내용들을 쭉 다시 훝어보면 내일 56이 남습니다.

처음 7에 비하여 8배나 증가했습니다.

묻고 싶습니다. 배운 것을 까먹고 새로운 것을 배운다 한들, 그것이 도대체 무슨 소용입니까?

제가 내신에서도 전교 1등을 할 수 있었던 이유가 무엇인줄 아십니까? 복습입니다.

보통 중간고사 시험범위가 1~50이라고 하면, 시험기간이 되면 대부분 아이들은 45~50까지만 잘 기억합니다.

1~30 정도는 가물가물합니다. 30~45 정도는 어렴풋합니다. 그리고 1~50까지 '다시 공부'를 합니다.

WOW! 이런 낭비가 세상에 어디있습니까? 배운 것을 잊고 또 다시 공부한다니. 안 잊으면 될 것이 아닙니까?

저는 중간고사 시험기간이 되면, 1~10은 벌써 50번 정도는 복습한 상태가 됩니다. 10~20은 30번 정도겠지요.

30~40은 15번 정도? 40~50은 5번 정도는 됩니다. 무슨 말이냐면, 앞쪽이 더 기억이 잘난다는 것입니다.

완전하게 외우고 있을 정도가 된 상태란 말입니다. 그러면 시험 기간이 되면 1~50까지 기억이 아주 선명하게 납니다.

시험 기간에 밤새면서 '다시 공부'할 필요가 없다는 말입니다.

배운 것을 잊기 전에 계속 기억력을 자극해서 튕겨줌으로써 그것을 그대로 유지하고 완전히 내것으로 만들면 되는 겁니다.

★ 2) 누적적학습법

오늘 1~10 배웠습니다. 내일은 고작 1정도 남습니다. 그리고 11~20을 배우겠지요. 총 합은 11 남은 것입니다.

그 다음 날은 21~30을 배웁니다. 그러면 총 합은 13~15정도입니다.

차라리 오늘 1~10을 배웠으면, 내일은 1~18을 공부하세요. 그리고 그 다음날은 1~25 정도로 공부하세요.

복습하는데 너무 시간이 오래 걸리잖아요!

'다시 공부'하는데 오래 걸리지, '배운 것을 잊기 전에 기억력을 자극해주는 훝어보기'는 오래 걸리지 않습니다.

해보신 분들이 있을 겁니다. 완전히 개념을 알고 있는 책은 그냥 쑥쑥 넘겨가면서 볼 수 있습니다.

다만 1~100이라고 하면, 다 복습하고 1~110하면 너무 오래걸리므로, 여기서는 지혜롭게 일주일에 한 번만 1~100정도 복습하고

(이미 수십번 복습이 되어 있을 것입니다)100~110부터 다시 시작하면 되는 것이지요.

원리가 그렇다는 것입니다.

★ 3) 40% 연독법

<캠브릿지 대학의 연구 결과>

캠릿브지 대학의 연결구과에 따르면, 한 단어 안에서 글자가 어떤 순서로 배되열어 있는가 하것는은 중하요지 않고, 첫째번와 마지막 글자가 올바른 위치에 있것는이 중하요다고 한다. 나머지 글들자은 완전히 엉진창망의 순서로 되어 있지을라도 당신은 아무 문없제이 이것을 읽을 수 있다. 왜하냐면 인간의 두뇌는 모든 글자를 하나 하나 읽것는이 아니라 단어 하나를 전체로 인하식기 때이문다.

어떤 내용인지 다 이해가 되시죠?

그런데 잠깐! 다시 읽어보세요.

네. 엉터리지요. 중간 글자들의 순서를 다 바꾸어 놓았습니다.

그러나 전혀 읽는데는 어려움이 없습니다. 한글이 '익숙하기' 때문입니다.

어느 한 책을 정독하여 읽는데 24시간이 걸리면, 다음에 그 책을 읽으면 그 40%인 10시간에 읽을 수 있습니다.

그 다음은 4시간, 그 다음은 약 2시간, 그 다음은 1시간... 이것이 가능합니다. 이것이 가능하기에

누적적 복습법도 가능한 것입니다. 못믿겠으면 한 번 해보세요.

한글은 너무나도 빨리 읽히지만, 영어는 심지어 완전히 아는 쉬운 문장과 단어로 구성되어 있어도 빨리 읽히지

않습니다. 익숙하지 않기 때문입니다.

어느 한 문장에서 '모르는 단어가 30%가 넘으면' 뇌에서 그것을 튕겨냅니다. 어려운 전문서적을 보면 머리가 아프지요?

내 뇌가 그것을 '모르기' 때문입니다. 근데 정말 어려워 보이는 것 같은 책도 여러번 계속 보고 보다보면 어느새 이해가 됩니다.

아마 처음 수I을 접한 분은 너무 어렵게 느꼈을 것입니다(주로 중학교 때 고등학교 과정을 공부하면 아주 어렵지요). 근데 지금 보면 우습지요. 내 머리가 더

좋아져서인가요? 아닙니다. 계속 보면 나오는 용어들과 그래프 등이 익숙해져서 뇌가 편안하게 받아들이기 때문입니다.

그런데 놀라운 것은! 모르는 단어라도 계속 보면 뇌가 '모르는 것'에서 '모르지만 봤던 익숙한 것'으로 인식을 바꿉니다.

그러면 편안하게 읽을 수 있습니다. 그리고 그것이 더더욱 숙달되면 그냥 쫘자작 머리에 들어옵니다. 이것은 한 번 해보셔야 압니다.

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