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고2 똘똘이 수열 공부하고 있습니다.
여러가지 수열 부분에서 시그마란 넘을 배우지요.
만재아빠님이 좋아하시는 것 같은 나머지와 시그마의 짬뽕 문제로 작년 수능 가형, 나형 모두 출제되었던 문제를 소개하려구요 ㅋㅋㅋㅋ
고등학교 수학에서 정수론 부분이 따로 특별히 언급 된 것은 없지만 고1 1학기에 정수 단원이 있고 그때 나머지를 이용한 정수의 분류나 최소공배수, 최대공약수, 기수법에 관한 내용을 공부합니다.
넵! 똘똘한 초딩, 중딩들은 벌써 다 아는 내용이지요.
그런데 또 합니다. 그리고 바로 그 다음에 다항식이 나옵니다.
인수분해, 곱셈공식 배우고 나머지 정리 배우고 다항식에서 공약수 공배수를 배웁니다.
정수에서 10진수를 5진수로 바꾸는 것 처럼 다항식도 새로운 형태로 내림차순 정리를 할 수 있습니다.
현행 고등학교 수학은 간단한 정수를 이용해서 약수, 배수, 나머지 정리, 기수법에 관한 기본 개념을 다져 놓고 다항식에서도 그대로 적용하는 구성입니다.
다항식은 그 다음에 배울 방정식, 부등식을 위한 워밍업이라고 볼 수 있죠.
그리고 방,부등식은 함수로 확장되어지기 전의 재료 다듬는 단계라고 할 수 있구요.
여기 까지가 고1 국민 공통기본 교육 과정이고 수능에서는 출제되지 않는 범위입니다.
물론 수능 문제 푸는 과정 중에는 고1 까지의 공통과정이 다 녹아들어가있지요.
우짷든 대수능 시험에서는 함수 문제나 함수와 얽힌 방,부등식 문제들을 풀어서 맞아야만 점수가 되고 대학 갈 밑천이 됩니다.
정수론 관련 문제들은 모의고사나 초기 수능에서 칸 채우기 문제로 많이 나왔었습니다.
최근엔 좀 시들한 경향이었는데 작년 수능에서 주관식 4점짜리로 쌈빡한게 나왔습니다.
간단하고 명쾌한 풀이라서 제 개인적으로 맘에 들었던 수열 문제입니다.
수열 문제는 특히나 시그마 들어가는 여러가지 수열 문제는 자칫 지저분해지기 쉽거든요 ㅠ.ㅠ
초등 부터 귀에 딱지 않도록 배운 몫과 나머지를 이용한 정수의 표현만 할 줄 안다면 거기에 수1에서 배운 시그마 개념만 붙이면 풀어지는 문제입니다.
학생들이 의외로 어렵게 느꼈던 문제입니다.
2009 수리영역 가형(이과), 나형(문과) 주관식 23번
자연수 n(n은 2 이상)으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 An이라 하자. 예를 들어 4로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 5, 10, 15이므로 A4=5+10+15=30이다.
An이 500보다 큰 자연수 n의 최솟값을 구하시오 [4점]
풀이 : 어떤 수를 n으로 나누어 몫과 나머지를 k라 하면 nk+k=(n+1)k로 표현할 수 있습니다.
이때 나머지는 1 부터 n-1 까지 가능하고 각각의 경우를 모두 더한 값이 An이 됩니다.
k=1 부터 k=n-1 까지 변하는 시그마를 (n+1)k에 붙여서 시그마를 풀면
An= (n+1)(n-1)n/2 > 500
양변에 2 곱해서
(n-1)n(n+1) > 1000
연달아 나오는 세수의 곱이 1000 보다 큰 경우를 찾으면
9*10*11=990 < 1000
10*11*12=1320 > 1000
따라서 답은 11
이 문제를 경시 준비 좀 했다 싶은 초등, 중등 학생들에게 주면 풀어낼 수 있을 것입니다.
시그마 개념을 이용해서 간단히 풀지 못하더라도 약간의 노가다로 충분히 풀 수 있을 것이란 생각입니다.
A7=8+16+24+32+40+48=148
A10=11+22+33+44+55+66+77+88+99=110*4+55=495
A11=12+24+36+48+60+72+84+96+108+120=132*5=660 >500
따라서 답은 11
엄밀하게 따져서 꼭 수1의 시그마를 배워야만 풀 수 있는 문제는 아닙니다.
만약 An이 1000보다 큰 수라고 한다면 좀 더 힘든 노가다를 해야겠지만요 ㅠ.ㅠ
초등, 중등 경시 준비하는 학생이라면 이와 비슷한 유형의 문제를 많이 접할 수도 있을 것입니다.
초4에 풀던 중2에 풀던, 우짷든간에 최종 고3 수능 장에서 풀어서 맞으면 됩니다.
그렇다면 초등, 중등의 수학 경시 준비가 대수능에 많은 도움이 될까요?????
다른 분들의 비슷한 경험도 듣고싶어요