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언제나 막혔을 때 이렇게 도움받을 수 있는 곳이 있다는 것을 늘상 고맙고 감사하게 생각합니다.
문제 : 자연수 중에서 2로 나누어 나머지가 0이 되는 수 중 가장 작은 수 는?
딸 아이가 틀린 시험지 문제를 들고 와서 묻는데.
2로 나누어 0이 된다는 것은 2의 배수를 뜻하는 것 이니까. 답은 2잖아.
라고 말해 주니.
딸 아이가 1도 2로 나누면 나머지는 0이고 1도 자연수니까. 답이 1 맞잫아.
라고 하는데,
듣고 보니 몫이 자연수라는 전제가 있는 것도 아니고, 틀린 말은 아닌 것 같은데. 이것 어떻게 설명해 주어야 하나요.
답변 감사드립니다. 쑥쑥에 이렇게 고맙고 든든한 분들이 계셔서. 쑥쑥만 믿고 아는 것도 쥐뿔도 없으면서, 지금까지 영어도 수학도 과외없이 그냥 나가고 있습니다. 항상 고맙고, 도움만 받는 것 같아 미안하고 답변 감사드립니다.
아이가 1을 2로 나누면 반씩(=1/2씩) 나눠갖고 그 나머지가 0 이라고 생각했나 봅니다.
아이가 충분히 그런 의문을 품을수 있습니다.
그런 의문을 품으면서 수학적인 사고력이 확장되는 것입니다.
그런데 만재아빠님이 설명하신것처럼
수학에서 "나눗셈 정리"라는 것이 있는데 그것은 다음과 같습니다.
"정수를 정수로 나누었을때 그 몫과 나머지는 정수이고
그 나머지는 0보다 크거나 같고 나누는 수보다는 작아야 한다"
정수엔 자연수도 포함하므로 자연수의 나눗셈에 대해서도 이 정리가 성립해야합니다.
그러니까 자연수를 자연수로 나누면
그 몫과 나머지는 반드시 0과 자연수가 되어야 하는 것임을 아이에게 설명해주시면 됩니다.
이렇게 정하지 않으면,
그 몫과 나머지가 여러개가 될 수 있어 수학의 체계가 무너지기 때문이라는 이유와 함께요.
그래서 아이가 생각한 것은 몫(=1/2)이 자연수가 아니므로 잘못된 것입니다.
이 정리는 경시대회나 각 대학교 구술시험에서 자주 출제되는 부분입니다.
예를 들어 "정수나 자연수에 대해 아는 대로 설명하시오" 라는 문제가 출제되었었는데
그 때엔 지금 말씀드린 나눗셈정리가 꼭 언급되어야 할 정도로 중요한 부분입니다.
1은 2로 나누면 나머지가 1입니다. 자기 자신보다 큰 수로 나눌 경우에는 자기 자신이 바로 나머지가 됩니다.
어떤 수를 3으로 나누었을 때 나머지는 0,1,2 중에 하나가 됩니다. 어떤 수를 4로 나누었을 때 나머지는 0,1,2,3 중에 하나가 됩니다. 마찬가지로 123 으로 나누었을 때에는 0,1,2,3,....122 가 나머지가 될 수 있습니다.
예제1) 12/12345 의 나머지는 ? 답 12
예제2) abc/cdefg 의 나머지는? 단, a,c 는 0 이 아니다. 답 abc
예제3) 5로 나누었을 때 나머지가 될 수 있는 숫자들은? 답 0,1,2,3,4
예제4) 자연수 중에서 9999 으로 나누어 떨어지는 작은 가장 수는? 답 9999
참고로
소수(prime number)는 1을 제외한 자연수 중에서 나누어 떨어지는 가장 작은 수 ( 자기 자신 ) 과 1 만을 약수로 가지는 숫자들을 말합니다. 소수 알고리즘은 2 부터 자기 자신까지 모든 자연수에 대하여 하나 하나 넣어서 나누어지는가를 판별해 보고 나누어지는 숫자가 자기자신 하나뿐일때 소수라고 합니다. 가령 13 이라는 숫자는 2로 나누어지지 않고 3으로 나누어지지 않고 4,5,6,7,8,9,10,11,12 로 나누어지지 않습니다. 자시 자신인 13으로만 나누어 떨어집니다.
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