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만재아빠
|
2009-03-11 07:49

문제의 이해를 돕기 위해서 ...학습을 하시고자 하시면 다음과 같이 해 보십시오. 정수론에 나오는 기초문제입니다. 유사한 문제들이 많이 나올 것이기 때문에 확실히 해 놓으실 필요가 있습니다. 하루가 아니라 일주일 정도 잡으시고 차근 차근 해 보십시오. 우선 소수, 인수, 소인수분해, 지수, 약수, 배수, 교집합, 합집합, 소수의 무한성, 소인수분해의 유일성 등으로 압축해서 주제를 정하고 접근해 보십시오.

1) 모든 수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있다. 소수를 100까지 아리토스테네스의 체를 이용하여 구해 봅니다.

2) 100,99,98,97.......5,4,3,2,1 을 소인수 분해해 봅니다. 아직 초등생이니 시간을 좀 투입해서 소인수분해 100번 정도 해 봅니다. 100까지 숫자들의 소인수 분해가 된 형태를 비교해 봅니다.

3) 100! 을 소인수분해해 봅니다. 혹은 소인수의 곱의 형태로 나타내는 과정을 상상해 봅니다.

100 ! = p1 ^a x p2 ^b x p3 ^c ......... ( 밑에 소인수 분해 참조하십시오.)

4) 소인수 분해의 유일성과 소수는 무한하다 라는 것을 증명해 봅니다. 이 부분이 하이라이트 입니다. 이것을 기억하고 있어야 이쪽 분야 문제가 술술 생각나서 풀리기 시작합니다.

5) 집합에서 교집합, 합집합 등에 대한 이해를 합니다.

소인수분해

[x]는 x를 넘지 않는 최대정수라고 하겠습니다.( 가우스 기호를 이용합니다.)

[100/2] +[100/4]+[100/8]+[100/16]+[100/32]+[100/64]
= 50+25+12+6+3+1 = 97개입니다.

3은

[100/3]+[100/9]+[100/27]+[100/81]
= 33+11+3+1 = 48개입니다.

5는 [100/5]+[100/25] = 20+4 = 24
7은 [100/7]+[100/49] = 14+2 = 16
11은 [100/11] = 9
13은 [100/13] = 7
17은 [100/17] = 6
19는 [100/19] = 5
23은 [100/23] = 4
29는 [100/29] = 3
31은 [100/31] = 3
37은 [100/37] = 2
41은 [100/41] = 2
43은 [100/43] = 2
47은 [100/47] = 2

나머지 소수들은 한개뿐입니다.

따라서 소인수 분해하면

2의 97제곱, 3의 48제곱........이런식으로 나옵니다.

악척같이 끝까지 계산을 합니다. 보통 잔머리 굴리면

이정도에서 포기하지만 수학의 자세는 끝까지 입니다.

100!=2^97 x 3^48 x 5^24 x 7 ^16 x 11^9 x 13^7 x 17^6 x 19^5 x 23^4 x 29^3 x 31 ^3 x 37^2 x41^2 x 43^2 x 47^2 x 51 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 x 89 x 97

예제)

1) 11x13 으로 몇 번 나누어지는가?

2) 71x83으로 몇 번 나누어지는가?

3) 6으로 몇 번 나누어지는가?

4) 24 로 몇 번 나누어지는가?

5) 38 로 몇 번 나누어지는가?