공중에 팽팽한 빨랫줄이 있고 거기에다 집게로 판자를 널었다고 상상해 보세요. 

바람이 불면 부는대로 판자가 이리저리 왔다갔다 하겠죠. 그걸 매순간 카메라로 찍었다면 판자가 날릴 때마다 서로 다른 방향이 찍힙니다. 공간을 가르는 무수히 많은 평면들이 생기는 셈...

이렇듯, 한 직선(빨랫줄)을 지나는 평면(판자)은 무수히 많습니다.

만약 다른 빨랫줄 하나가 더 있어서 그 두 개의 빨랫줄을 모두 지나도록 판자를 얹는다면?

판자의 방향은 고정됩니다. 

두번째 빨랫줄이 어디에 있냐에 따라 판자의 방향이 달라져서, 두 빨랫줄의 높이가 다르다면 판자는 기울어진 채로 있겠고, 높이가 같다면 땅 바닥과 나란히 있게 됩니다. 

결국 두번째 빨랫줄에 따라 판자의 방향은 '고정'됩니다.  

이런 상황이 '두 직선을 모두 지나는 평면은 오직 하나뿐이다'의 뜻입니다. 공간을 가르는 평면의 방향이 한 가지라는 것이지요.

덧붙이자면...

직육면체 모양의 상자에서 윗면에 있는 어떤 직선과 옆면에 있는 어떤 직선이 서로 평행할 수 있습니다. 그리고 그 두 직선을 통과하는 평면 또한 존재합니다. 하지만 눈으로 보이지는 않지요.

상자 말고 두부를 상상하면, 그 평면이 어떤 것인지 이해하기 쉬워요.

윗면과 옆면에 서로 평행인 두 직선을 관통하게 두부를 자르면, 비스듬히 잘려진 평면이 생깁니다.

상자에서는 눈에 보이지 않았지만, 공간에서는 존재하고 있음을 의미합니다. 

중요한 건, 평행한 두 직선을 동시에 지나는 평면이 두 개나 세 개는 아니라는 것입니다.

두부의 경우, 어느 면에 있던간에 평행한 두 직선을 모두 지나게 잘라내는 방향은 딱 한 가지밖에 없잖아요?

그것이 바로, 두 직선을 지나는 평면은 '유일하다'는 것을 뜻합니다...