1. 합성수(자연수 중 1도 아니고 소수도 아닌 수)의 배수 판정은 일반적으로 공배수를 이용합니다.

   간단한 예를 들어보면 

   12=3x4 이므로 3의 배수이고 4의 배수인 수가 됩니다. 3와 4의 공배수라면 12의 배수가 됩니다.

   여기서 12=2x6 라고 생각하면 2의 배수이고 6의 배수인 수이므로 결국 2와 6의 공배수가 12의 배수가

   된다라는 모순이 생깁니다 

   2와 6의 공배수는 6의 배수인데 6의 배수라고 해서 모두 12의 배수가 되지는 않잖아요. 

   모순이 생긴 원인은 애초에 두 수의 곱으로 갈라놓을 때, 공통된 부분이 있었기 때문입니다.

   무엇이든지 공통된 부분이 있으면 전체의 규모는 줄어들게 됩니다.

   그게 최소공배수의 원리이기도 하구요.. 통분할 때 두 분모의 곱으로 통분하지 않고

   최소 공배수로 통분하잖아요... 더 작아지니까요...계산의 편리를 위해서...

   이런 겹치는 부분을 방지하기 위해 소인수분해가 필요하죠.

   소인수분해를 하면 그 수의 구조를 낱낱이 파헤쳐 볼 수 있습니다.

   12= (2x2) x3    

    문제에서는 72의 배수가 되어야 하므로

    72= (2x2x2) x (3x3) = 8 x 9 이므로 8의 배수도 되고 9의 배수도 되어야 합니다.

    가령 72 = (2x2) x (2x3x3) = 4 x 18 이렇게 생각하면 

    4의 배수도 되고 18의 배수도 된다면  72의 배수도 된다.

    4와 18의 공배수인 36의 배수가 72의 배수가 된다 라는 모순이 생기겠죠...

    4와 18에 공통부분인 2가 있어서 전체의 사이즈가 줄어들었습니다.

2.  어떤 수에 10이 곱해지면 끝자리에 0이 한개 늘어납니다.

     그러므로 0의 개수가 10이 곱해진 개수와 같게되죠.

     여기서 주어진 수에 10이 몇 번 곱해졌나를 알아보면 됩니다.

     10 = 2 x 5 이므로  5가 몇 번 곱해져 있나 보면 되겠죠...

     곱해진 2의 개수는 5의 개수보다 훨씬 더 많으니까요..

     일단 5의 배수의 개수를 찾으면 401개

     5가 두번 곱해진 25의 배수의 개수는 80개

     5가 세 번 곱해진 125의 배수의 개수는 16개

     5가 네 번 곱해진 625의 배수의 개수는 3개

     그래서 5가 곱해진  총 개수는 401 + 80 + 16 + 3 = 500 이 되겠네요...

     5가 500번 곱해졌으니 10도 500번 곱해졌겠죠.

     그래서 일의 자리부터 0이 500개까지 지속됩니다..

1. 모든 수는 유일하게 소인수 분해가 됩니다. 72 =2^3 x 3^2 입니다. 즉 72를 소수의 곱으로 나타낼 때 2 를 세번곱한 숫자인 8과 3을 두번 곱한 숫자인 9의 곱으로 유일하게 표현됩니다. 그러므로 A4273B가 나머지 없이 나누어지려면 소인수 분해를 했을 때 2x2x2x3x3xp1xp2xp3xp4....( p 는 임의의 소수들 )  의 모양이어야 합니다. 

위에서 질문하신 다른 인수들의 곱도 유일하게 2x2x2x3x3 임을 아실 수 있으실 것입니다. 소인수 분해의 유일성 때문입니다. 그리고 분자가 분모로 나머지 없이 나누어지려면 반드시 분모의 소인수분해후의 곱모양을 분자에서도 포함하고 있어야 합니다.

배수판정법에 의하여 8의 배수는 끝의 세자리가 8의 배수이어야 합니다.73B가 8의 배수이어야 합니다. 730을 8로 나누면 90 이고 나머지는 1B가 됩니다. 8의 배수인 1B는 16 뿐입니다. 그러므로 B는 6입니다. 다시 전체는 9의 배수이어야 합니다. A+4+2+7+3+6=A+22 입니다. 9의 배수가 되기 위하여서는 A는 5 입니다.

( 문제의 핵심은 모든 숫자는 뿌리들이 있고 그 뿌리들의 곱으로 나타낼 수 있다 라는 것입니다. 그 뿌리들을 소수 ( prime number )라고 합니다. )

8 배수판정법

abcde = 10000 x a + 1000 x b + cde  입니다. 그러므로 8이라는 숫자에 대하여 abcde ≡ cde ( mod 8 ) 그러므로 cde 가 8의 배수이면 abcde 는 8의 배수입니다. 8의 배수인 10000a 와 1000b를 더하면 8의 배수입니다. 나머지 cde 가 8의 배수이면 전체가 8의 배수가 됩니다.

4,5,7,11,13 의 배수 판정법도 위와 같이 합동의 개념을 이용하여 증명해 보시기 바랍니다. ( 교과 과정 밖입니다. 그러므로 꼭 하실 필요 없습니다. 정수론에서 합동에 관련된 부분을 깊이 있게 하실 분들은 페르마의 작은 정리, 오일러 정리 등을 참조하시면 됩니다.

1.

2.

500

이 맞죠? 제가 생각할수 있는 방법은 거의 노가다 인 방법밖에 생각이 안나는데

책에서 노가다로 풀라고 했을리는 없고 해답집에 있는 풀이는 없나요?